湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
8．若广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{2}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛，则 $p$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在 x→0⁺ 时的渐近行为
当 $x \to 0^+$ 时，$\sin(x^2) \sim x^2$，因此 $\frac{|\sin(x^2)|}{x^p} \sim \frac{x^2}{x^p} = x^{2-p}$。考虑积分 $\int_0^{\delta} x^{2-p} \, dx$ 在 $0$ 附近的收敛性。
公式：$\frac{|\sin(x^2)|}{x^p} \sim x^{2-p}$
提示：注意 $\sin(x^2)$ 在 $x=0$ 处为零，不能用 $\sin(x^2) \sim x^2$ 近似时忽略绝对值。
步骤 2/5
目标：确定 x→0⁺ 时收敛的 p 范围
积分 $\int_0^{\delta} x^{2-p} \, dx$ 在 $0$ 附近收敛当且仅当 $2-p > -1$，即 $p < 3$。因此从原点附近得到条件 $p < 3$。
公式：$2-p > -1 \Rightarrow p < 3$
提示：注意 $p$ 的指数比较：$\int_0^\delta x^\alpha dx$ 在 $\alpha > -1$ 时收敛。
步骤 3/5
目标：分析 x→+∞ 时的行为，并做变量代换
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin(x^2)|}{x^p} \, dx$。令 $t = x^2$，则 $x = \sqrt{t}$，$dx = \frac{1}{2\sqrt{t}} \, dt$，积分化为 $\frac12 \int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t^{(p+1)/2}} \, dt$。
公式：$\int_1^{+\infty} \frac{|\sin(x^2)|}{x^p} \, dx = \frac12 \int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t^{(p+1)/2}} \, dt$
提示：变量代换后注意积分限和 $dx$ 的变换，不要遗漏因子 $\frac12$。
步骤 4/5
目标：利用已知结论判断无穷远处积分的收敛性
已知 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin t|}{t^\alpha} \, dt$ 收敛当且仅当 $\alpha > 1$（因为 $|\sin t|$ 的平均值非零，与 $\frac{1}{t^\alpha}$ 比较）。这里 $\alpha = \frac{p+1}{2}$，故需 $\frac{p+1}{2} > 1$，即 $p > 1$。
公式：$\frac{p+1}{2} > 1 \Rightarrow p > 1$
提示：注意 $|\sin t|$ 不是衰减函数，不能用 $|\sin t| \leq 1$ 直接得到 $\alpha > 0$ 的条件，必须用比较判别法考虑平均值。
步骤 5/5
目标：综合两部分条件，得出最终 p 的取值范围
由 $x \to 0^+$ 得 $p < 3$，由 $x \to +\infty$ 得 $p > 1$，两者取交集，得到 $1 < p < 3$。
公式：$1 < p < 3$
提示：注意绝对收敛要求两个端点都收敛，不能取等号。
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