湖南师范大学 2024年数学分析第0题

在正方形区域 $D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3, 0 \leq y \leq 3\}$ 内，$x+y$ 的取值范围是从 $0$ 到 $6$。取整函数 $[x+y]$ 在 $x+y$ 每经过一个整数时发生跳跃。具体地： - 当 $0 \leq x+y < 1$ 时，$[x+y]=0$； - 当 $1 \leq x+y < 2$ 时，$[x+y]=1$； - 当 $2 \leq x+y < 3$ 时，$[x+y]=2$； - 当 $3 \leq x+y < 4$ 时，$[x+y]=3$； - 当 $4 \leq x+y < 5$ 时，$[x+y]=4$； - 当 $5 \leq x+y < 6$ 时，$[x+y]=5$； - 当 $x+y = 6$ 时，$[x+y]=6$，但这是一条零测线，不影响积分值。

将正方形区域按 $x+y$ 的整数区间划分为 6 个带状子区域，分别计算面积： - $k=0$：区域 $0 \leq x+y < 1$，左下角直角边长为 1 的等腰直角三角形，面积 $S_0 = \frac{1}{2}$。 - $k=1$：区域 $1 \leq x+y < 2$，由 $x+y<2$ 的三角形（直角边长 2，面积 2）减去 $x+y<1$ 的三角形（面积 $\frac{1}{2}$），得 $S_1 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。 - $k=2$：区域 $2 \leq x+y < 3$，由 $x+y<3$ 的三角形（直角边长 3，面积 $\frac{9}{2}$）减去 $x+y<2$ 的三角形（面积 2），得 $S_2 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$。 - $k=3$：区域 $3 \leq x+y < 4$，利用对称性，正方形中 $x+y \geq 3$ 的面积为 $9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$，减去 $x+y \geq 4$ 的右上角三角形（直角边长 2，面积 2），得 $S_3 = \frac{9}{2} - 2 = \frac{5}{2}$。 - $k=4$：区域 $4 \leq x+y < 5$，$x+y \geq 4$ 的面积为 2，减去 $x+y \geq 5$ 的右上角小三角形（直角边长 1，面积 $\frac{1}{2}$），得 $S_4 = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$。 - $k=5$：区域 $5 \leq x+y < 6$，右上角直角边长为 1 的等腰直角三角形，面积 $S_5 = \frac{1}{2}$。 验证总面积：$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+\frac{5}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2} = 9$，正确。

积分值为每个带状区域的面积乘以其对应的整数值，再求和： \[ \iint_D [x+y] \, dxdy = \sum_{k=0}^{5} k \cdot S_k = 0 \times \frac{1}{2} + 1 \times \frac{3}{2} + 2 \times \frac{5}{2} + 3 \times \frac{5}{2} + 4 \times \frac{3}{2} + 5 \times \frac{1}{2} \] 计算各项： \[ 0 + \frac{3}{2} + \frac{10}{2} + \frac{15}{2} + \frac{12}{2} + \frac{5}{2} = \frac{3+10+15+12+5}{2} = \frac{45}{2} = 22.5 \]

因此，二重积分的值为 $\frac{45}{2}$ 或 $22.5$。