湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．若函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：
$$
\left[\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \frac{1}{12} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件与目标，明确证明方向
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $\int_0^1 f(x)\,dx = 0$。要证明 $\left(\int_0^1 x f(x)\,dx\right)^2 \le \frac{1}{12} \int_0^1 f^2(x)\,dx$。直接应用柯西-施瓦茨不等式会得到 $\frac13$，比 $\frac1{12}$ 大，因此需要利用积分为零的条件来改进。
公式：\left(\int_0^1 x f(x)\,dx\right)^2 \le \int_0^1 x^2\,dx \cdot \int_0^1 f^2(x)\,dx = \frac13 \int_0^1 f^2(x)\,dx
提示：注意直接使用柯西-施瓦茨得到的结果不是最优的，需要引入常数调整。
步骤 2/5
目标：利用零均值条件构造辅助函数
由于 $\int_0^1 f(x)\,dx = 0$，对任意常数 $c$，有 $\int_0^1 (x-c)f(x)\,dx = \int_0^1 x f(x)\,dx - c\int_0^1 f(x)\,dx = \int_0^1 x f(x)\,dx$。因此可以将左边写成 $\int_0^1 (x-c)f(x)\,dx$ 的形式。
公式：\int_0^1 x f(x)\,dx = \int_0^1 (x-c) f(x)\,dx
提示：常数 $c$ 可以任意选取，目的是后续优化。
步骤 3/5
目标：应用柯西-施瓦茨不等式
对 $\int_0^1 (x-c)f(x)\,dx$ 应用柯西-施瓦茨不等式，得到：
\left(\int_0^1 x f(x)\,dx\right)^2 \le \int_0^1 (x-c)^2\,dx \cdot \int_0^1 f^2(x)\,dx。
公式：\left(\int_0^1 x f(x)\,dx\right)^2 \le \int_0^1 (x-c)^2\,dx \cdot \int_0^1 f^2(x)\,dx
提示：柯西-施瓦茨不等式的使用条件是函数平方可积，这里连续函数满足条件。
步骤 4/5
目标：计算并最小化系数 $\int_0^1 (x-c)^2\,dx$
计算 $\int_0^1 (x-c)^2\,dx = \int_0^1 (x^2 - 2c x + c^2)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - c x^2 + c^2 x\right]_0^1 = \frac13 - c + c^2$。这是一个关于 $c$ 的二次函数，最小值在 $c = \frac12$ 处取得，最小值为 $\frac13 - \frac12 + \frac14 = \frac{1}{12}$。
公式：\int_0^1 (x-c)^2\,dx = \frac13 - c + c^2, \quad \min_{c} = \frac{1}{12} \text{ 当 } c = \frac12
提示：二次函数求最值可通过导数或配方法完成。
步骤 5/5
目标：代入最优常数得到最终不等式
取 $c = \frac12$，代入不等式得：
\left(\int_0^1 x f(x)\,dx\right)^2 \le \frac{1}{12} \int_0^1 f^2(x)\,dx。
等号成立当且仅当 $f(x)$ 与 $x - \frac12$ 成比例，即 $f(x) = k\left(x - \frac12\right)$，且此时自动满足 $\int_0^1 f(x)\,dx = 0$。
公式：\left[\int_0^1 x f(x)\,dx\right]^2 \le \frac{1}{12} \int_0^1 f^2(x)\,dx
提示：等号成立条件来自柯西-施瓦茨取等的条件：两函数线性相关。
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