湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ．记 $F(x)=\int_{a}^{b} f(t)|x-t| \mathrm{d} t$ ，证明 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上有唯一的极小值点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将绝对值函数分段表示，简化积分形式
由于 $|x-t|$ 在 $t \leq x$ 时为 $x-t$，在 $t \geq x$ 时为 $t-x$，因此将积分区间 $[a,b]$ 分为 $[a,x]$ 和 $[x,b]$ 两段：
$$F(x) = \int_a^x f(t)(x-t)\,dt + \int_x^b f(t)(t-x)\,dt$$
公式：$$F(x) = \int_a^x f(t)(x-t)\,dt + \int_x^b f(t)(t-x)\,dt$$
提示：注意 $x$ 是积分上限或下限，且被积函数也依赖于 $x$，后续求导需要使用含参变量积分的莱布尼茨法则。
步骤 2/5
目标：对 $F(x)$ 求导，得到 $F'(x)$ 的表达式
对第一项 $\int_a^x f(t)(x-t)\,dt$ 求导：令 $g(x,t)=f(t)(x-t)$，则 $g(x,x)=0$，$\frac{\partial g}{\partial x}=f(t)$，由莱布尼茨公式得导数为 $\int_a^x f(t)\,dt$。
对第二项 $\int_x^b f(t)(t-x)\,dt$ 求导：令 $h(x,t)=f(t)(t-x)$，则 $h(x,x)=0$，$\frac{\partial h}{\partial x}=-f(t)$，由变下限积分求导公式得导数为 $-\int_x^b f(t)\,dt$。
因此：
$$F'(x) = \int_a^x f(t)\,dt - \int_x^b f(t)\,dt$$
公式：$$F'(x) = \int_a^x f(t)\,dt - \int_x^b f(t)\,dt$$
提示：注意变下限积分求导时，公式为 $\frac{d}{dx}\int_x^b h(x,t)\,dt = -h(x,x) + \int_x^b \frac{\partial h}{\partial x}\,dt$，不要遗漏负号。
步骤 3/5
目标：分析 $F'(x)$ 的单调性和符号变化，证明存在唯一驻点
令 $G(x) = \int_a^x f(t)\,dt - \int_x^b f(t)\,dt$。由于 $f(t)>0$，$\int_a^x f(t)\,dt$ 严格递增，$\int_x^b f(t)\,dt$ 严格递减，故 $G(x)$ 严格递增。
计算端点值：
$$G(a) = 0 - \int_a^b f(t)\,dt < 0, \quad G(b) = \int_a^b f(t)\,dt - 0 > 0$$
由连续性和严格单调性，存在唯一 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $G(x_0)=0$，即 $F'(x_0)=0$。
公式：$$G(a)<0,\quad G(b)>0,\quad G(x)\text{严格递增}$$
提示：严格单调性保证了零点的唯一性，端点异号保证了零点存在。
步骤 4/5
目标：判断驻点的极值性质，证明其为唯一的极小值点
由于 $F'(x)=G(x)$ 严格递增，且 $F'(x_0)=0$，则当 $xx_0$ 时 $F'(x)>0$。因此 $F(x)$ 在 $x_0$ 处由递减变为递增，故 $x_0$ 是极小值点。又因为 $F'(x)$ 在 $[a,b]$ 上只有一个零点，所以这是唯一的极小值点。
公式：$$F'(x)<0\ (x0\ (x>x_0)$$
提示：极小值点的判定依据是一阶导数由负变正，结合单调性即可得唯一性。
步骤 5/5
目标：总结结论，给出极小值点满足的条件
函数 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有唯一的极小值点 $x_0$，该点位于区间内部，且由方程 $\int_a^{x_0} f(t)\,dt = \int_{x_0}^b f(t)\,dt$ 唯一确定。
公式：$$\int_a^{x_0} f(t)\,dt = \int_{x_0}^b f(t)\,dt$$
提示：该方程表明极小值点恰好将 $f(t)$ 在 $[a,b]$ 上的积分平分。
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