湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
1．函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 附近有定义，且在 $x=1$ 处可导，已知 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$ ．求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^{2} x+\cos x\right)}{e^{x^{2}}-1}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析分子中自变量的变化趋势
当 $x \to 0$ 时，$\sin x \sim x$，$\sin^2 x \sim x^2$，$\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$，因此 $\sin^2 x + \cos x \sim x^2 + 1 - \frac{x^2}{2} = 1 + \frac{x^2}{2}$，即括号内的量趋近于 $1$。
公式：$\sin^2 x + \cos x \sim 1 + \frac{x^2}{2}$
提示：注意 $\cos x$ 的展开要保留到 $x^2$ 项，因为 $\sin^2 x$ 也是 $x^2$ 阶，两者合并后 $x$ 的一次项抵消。
步骤 2/5
目标：引入中间变量并利用导数定义
令 $t = \sin^2 x + \cos x - 1$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$，且 $t = \sin^2 x + (\cos x - 1) \sim x^2 - \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{2}$。由 $f$ 在 $x=1$ 处可导及 $f(1)=0, f'(1)=2$，得 $f(1+t) = f(1) + f'(1)t + o(t) = 2t + o(t)$。
公式：$f(1+t) = 2t + o(t)$，其中 $t \sim \frac{x^2}{2}$
提示：注意 $t$ 是 $x$ 的函数，$o(t)$ 表示比 $t$ 高阶的无穷小，在代换时需保持一致。
步骤 3/5
目标：求出分子的等价无穷小
由 $f(\sin^2 x + \cos x) = 2t + o(t)$ 且 $t \sim \frac{x^2}{2}$，得 $f(\sin^2 x + \cos x) \sim 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$，即分子等价于 $x^2$。
公式：$f(\sin^2 x + \cos x) \sim x^2 \quad (x \to 0)$
提示：等价无穷小代换时，要确保分子和分母都是无穷小量，且代换后阶数不变。
步骤 4/5
目标：分析分母的等价无穷小
当 $x \to 0$ 时，$e^{x^2} - 1 \sim x^2$，因为 $e^u - 1 \sim u$ 且 $u = x^2$。
公式：$e^{x^2} - 1 \sim x^2$
提示：注意 $x^2$ 是整体，不要误写成 $e^{x^2} - 1 \sim x$。
步骤 5/5
目标：计算极限
由分子和分母的等价无穷小均为 $x^2$，得
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin^2 x + \cos x)}{e^{x^2} - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + o(x^2)}{x^2 + o(x^2)} = 1.
$$
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{f(\sin^2 x + \cos x)}{e^{x^2} - 1} = 1$
提示：使用等价无穷小代换时，要确保分子和分母的阶数相同，且代换后的比值极限存在。
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