湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将积分区域和被积函数用极坐标表示
令 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$，其中 $0 \le r \le 1$，$0 \le \theta \le 2\pi$。面积元 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$。被积函数分母化为 $\sqrt{(1 - r\cos\theta)^2 + (r\sin\theta)^2} = \sqrt{1 - 2r\cos\theta + r^2}$。于是原积分化为：
$$ I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \frac{r}{\sqrt{1 - 2r\cos\theta + r^2}} \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta. $$
公式：$$ \iint_D \frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{\sqrt{(1-x)^2+y^2}} = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{r}{\sqrt{1-2r\cos\theta+r^2}} \,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta $$
提示：注意极坐标变换时面积元要乘以 $r$，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：交换积分次序，先对 $\theta$ 积分
固定 $r$，先计算内层积分 $\int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-2r\cos\theta+r^2}}$。这是一个经典积分，可利用第一类完全椭圆积分 $K(k)$ 表示。对于 $0 \le r < 1$，有公式：
$$ \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-2r\cos\theta+r^2}} = \frac{4}{1+r} K\left( \frac{2\sqrt{r}}{1+r} \right). $$
公式：$$ \int_0^{2\pi} \frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{1-2r\cos\theta+r^2}} = \frac{4}{1+r} K\left( \frac{2\sqrt{r}}{1+r} \right) $$
提示：该公式可通过对称性和椭圆积分定义推导，注意 $r=0$ 时 $K(0)=\pi/2$，公式仍成立。
步骤 3/5
目标：代入并作变量替换简化积分
将内层积分结果代入，得：
$$ I = \int_0^1 r \cdot \frac{4}{1+r} K\left( \frac{2\sqrt{r}}{1+r} \right) \mathrm{d}r. $$
令 $t = \sqrt{r}$，则 $r = t^2$，$\mathrm{d}r = 2t\,\mathrm{d}t$，$r\,\mathrm{d}r = 2t^3\,\mathrm{d}t$。积分限 $t$ 从 $0$ 到 $1$，于是：
$$ I = 8 \int_0^1 \frac{t^3}{1+t^2} K\left( \frac{2t}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t. $$
公式：$$ I = 8 \int_0^1 \frac{t^3}{1+t^2} K\left( \frac{2t}{1+t^2} \right) \mathrm{d}t $$
提示：变量替换后注意微分元的计算，$r\,\mathrm{d}r = t^2 \cdot 2t\,\mathrm{d}t = 2t^3\,\mathrm{d}t$。
步骤 4/5
目标：利用几何意义和坐标变换直接计算积分
考虑以点 $(1,0)$ 为极点的极坐标：令 $x = 1 + \rho\cos\phi$，$y = \rho\sin\phi$，则被积函数为 $1/\rho$，面积元为 $\rho\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi$，两者抵消，积分化为 $\iint \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi$。积分区域 $x^2+y^2 \le 1$ 在新坐标下化为：
$$ (1+\rho\cos\phi)^2 + (\rho\sin\phi)^2 \le 1 \Rightarrow \rho(\rho + 2\cos\phi) \le 0. $$
由于 $\rho \ge 0$，得 $\rho \le -2\cos\phi$，且要求 $\cos\phi \le 0$，即 $\phi \in [\pi/2, 3\pi/2]$。于是：
$$ I = \int_{\phi=\pi/2}^{3\pi/2} \int_{\rho=0}^{-2\cos\phi} \mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\phi = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-2\cos\phi) \,\mathrm{d}\phi. $$
公式：$$ I = \int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-2\cos\phi) \,\mathrm{d}\phi $$
提示：注意新极坐标的原点选在 $(1,0)$，区域边界条件推导要仔细，$\rho$ 的上限由不等式解出。
步骤 5/5
目标：计算定积分得到最终结果
计算 $\int_{\pi/2}^{3\pi/2} (-2\cos\phi) \,\mathrm{d}\phi = -2 \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos\phi \,\mathrm{d}\phi = -2 [\sin\phi]_{\pi/2}^{3\pi/2} = -2(\sin\frac{3\pi}{2} - \sin\frac{\pi}{2}) = -2((-1) - 1) = 4.$
公式：$$ I = 4 $$
提示：计算三角函数值时注意 $\sin(3\pi/2) = -1$，$\sin(\pi/2)=1$，避免符号错误。
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