湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
3．求曲线积分
$$
I=\int_{L}\left(e^{x}+1\right) \cos y \mathrm{~d} x-\left[\left(e^{x}+x\right) \sin y-x\right] \mathrm{d} y
$$
其中 $L$ 为由点 $A(2,0)$ 沿着曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 到点 $B(-2,0)$ 的有向曲线段．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别积分形式并检查是否适用格林公式
记 $P(x,y) = (e^x+1)\cos y$，$Q(x,y) = -\left[(e^x+x)\sin y - x\right] = -(e^x+x)\sin y + x$。计算偏导数：
$$\frac{\partial P}{\partial y} = (e^x+1)(-\sin y) = -(e^x+1)\sin y$$
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = -\left(e^x+1\right)\sin y + 1$$
于是
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \left[-(e^x+1)\sin y + 1\right] - \left[-(e^x+1)\sin y\right] = 1$$
被积表达式对应的向量场旋度为常数1，可考虑使用格林公式。
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1$$
提示：注意 $Q$ 表达式中负号的处理，不要遗漏 $+x$ 项对 $\frac{\partial Q}{\partial x}$ 的贡献。
步骤 2/5
目标：构造封闭曲线并应用格林公式
曲线 $L$ 是从 $A(2,0)$ 沿上半圆 $y=\sqrt{4-x^2}$ 到 $B(-2,0)$ 的有向弧段。补充直线段 $L_0$：从 $B(-2,0)$ 沿 $x$ 轴回到 $A(2,0)$，则 $L+L_0$ 构成逆时针方向的封闭曲线，包围上半圆盘 $D: x^2+y^2 \le 4,\, y \ge 0$。由格林公式：
$$\oint_{L+L_0} P\,dx+Q\,dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx\,dy = \iint_D 1\,dA = \text{面积}(D) = \frac{1}{2}\pi \cdot 2^2 = 2\pi$$
公式：$$\oint_{L+L_0} P\,dx+Q\,dy = 2\pi$$
提示：注意封闭曲线的方向：$L$ 从 $A$ 到 $B$ 沿上半圆（逆时针方向），$L_0$ 从 $B$ 到 $A$ 沿 $x$ 轴（也是逆时针方向的一部分），整体为逆时针。
步骤 3/5
目标：计算直线段 $L_0$ 上的曲线积分
直线段 $L_0$：从 $B(-2,0)$ 到 $A(2,0)$，参数化为 $y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $-2$ 到 $2$。在 $y=0$ 时，$\cos y=1$，$\sin y=0$，因此
$$P = (e^x+1)\cdot 1 = e^x+1, \quad Q\text{ 项因 }dy=0\text{ 不贡献}$$
于是
$$\int_{L_0} P\,dx+Q\,dy = \int_{x=-2}^{2} (e^x+1)\,dx = \left[e^x + x\right]_{-2}^{2} = (e^2+2) - (e^{-2}-2) = e^2 - e^{-2} + 4$$
公式：$$\int_{L_0} (e^x+1)\,dx = e^2 - e^{-2} + 4$$
提示：注意积分限是从 $-2$ 到 $2$，与 $L_0$ 的方向一致。
步骤 4/5
目标：由封闭曲线积分减去直线段积分得到所求积分
封闭曲线 $L+L_0$ 的积分等于沿 $L$ 的积分加上沿 $L_0$ 的积分，即
$$\oint_{L+L_0} = \int_L + \int_{L_0} = 2\pi$$
因此
$$I = \int_L = 2\pi - \int_{L_0} = 2\pi - (e^2 - e^{-2} + 4) = 2\pi - e^2 + e^{-2} - 4$$
公式：$$I = 2\pi - (e^2 - e^{-2} + 4) = 2\pi - e^2 + e^{-2} - 4$$
提示：注意符号：$I$ 是题目要求的沿 $L$ 的积分，方向与封闭曲线一致，所以直接相减即可。
步骤 5/5
目标：整理并写出最终答案
将结果整理为最简形式：
$$I = 2\pi - e^2 + e^{-2} - 4$$
这就是所求曲线积分的值。
公式：$$\boxed{2\pi - e^{2} + e^{-2} - 4}$$
提示：最终答案中 $e^{-2}$ 也可以写为 $\frac{1}{e^2}$，但通常保留指数形式。
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