湖南师范大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
4．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$ 的和．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简函数形式
利用三角恒等式 $\arctan a - \arctan b = \arctan\frac{a-b}{1+ab}$，取 $a=1$，$b=x$，得 $\arctan 1 - \arctan x = \arctan\frac{1-x}{1+x}$。而 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，所以 $f(x) = \frac{\pi}{4} - \arctan x$。
公式：$\arctan\frac{1-x}{1+x} = \frac{\pi}{4} - \arctan x$
提示：注意恒等式的适用条件，$ab \neq -1$，这里 $x \neq -1$，但展开时主要考虑 $|x|<1$。
步骤 2/5
目标：写出 $\arctan x$ 的幂级数展开
已知 $\arctan x$ 的麦克劳林展开式为 $\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，收敛区间为 $|x| \leq 1$（端点处需单独讨论）。
公式：$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x| < 1$
提示：这是常见函数的幂级数展开，需要熟记。注意 $x$ 的指数是奇数。
步骤 3/5
目标：得到 $f(x)$ 的幂级数展开
将 $\arctan x$ 的展开式代入 $f(x) = \frac{\pi}{4} - \arctan x$，得 $f(x) = \frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$，收敛区间为 $|x| < 1$。
公式：$f(x) = \frac{\pi}{4} - \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1},\quad |x| < 1$
提示：注意展开式中 $x$ 的幂次和符号，不要漏掉负号。
步骤 4/5
目标：识别所求级数与 $\arctan x$ 展开的关系
所求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$ 恰好是 $\arctan x$ 在 $x=1$ 时的展开式：$\arctan 1 = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \arctan 1$
提示：注意 $x=1$ 在收敛区间端点，但 $\arctan x$ 的级数在 $x=1$ 处收敛（莱布尼茨判别法），且和函数连续。
步骤 5/5
目标：计算级数和
由于 $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$，因此 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}$
提示：这是著名的莱布尼茨级数，结果 $\frac{\pi}{4}$ 是圆周率的一种表示。
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