湘潭大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
一．计算题．每题 10 分，共 30 分．
（1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ ．
（2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{1}{x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简表达式
将 $\tan x$ 写为 $\frac{\sin x}{\cos x}$，则原式化为：
$$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right)}{x^3} = \frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x}$$
公式：$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$
提示：注意通分时不要遗漏分母 $\cos x$。
步骤 2/8
目标：应用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，有 $\sin x \sim x$，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，且 $\cos x \to 1$。代入得：
$$\frac{\sin x (1 - \cos x)}{x^3 \cos x} \sim \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$
公式：$\sin x \sim x$，$1-\cos x \sim \frac{x^2}{2}$
提示：等价无穷小替换必须在乘除因子中使用，不能用于加减项。
步骤 3/8
目标：得出第一题极限
由等价无穷小替换可得极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2}$
提示：结果可记忆为常用极限。
步骤 4/8
目标：分析第二题被积函数行为
对于 $x \in [0,1)$，$x^n \to 0$（$n \to \infty$）；在 $x=1$ 处值为 $\frac{1}{2}$，但单点不影响积分值。直观上积分趋于 0。
公式：$\lim_{n \to \infty} x^n = 0$ 当 $0 \le x < 1$
提示：注意端点 $x=1$ 是零测集，不影响极限。
步骤 5/8
目标：用夹逼定理严格证明
由于 $0 \le x \le 1$，分母 $1+x \ge 1$，故 $0 \le \frac{x^n}{1+x} \le x^n$。积分得：
$$0 \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \,dx \le \int_0^1 x^n \,dx = \frac{1}{n+1} \to 0$$
公式：$\int_0^1 x^n \,dx = \frac{1}{n+1}$
提示：夹逼定理要求上下界都趋于同一极限。
步骤 6/8
目标：得出第二题极限
由夹逼定理，原极限为 0。
公式：$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \,dx = 0$
提示：注意积分与极限交换顺序需谨慎，此处用夹逼更稳妥。
步骤 7/8
目标：对第三题取对数处理
设 $y = x^{1/x}$，则 $\ln y = \frac{\ln x}{x}$。当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{x} \to 0$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x} = 0$
提示：对数增长慢于幂函数，这是常用结论。
步骤 8/8
目标：还原得出第三题极限
由 $\ln y \to 0$ 得 $y \to e^0 = 1$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} x^{1/x} = 1$
提示：注意 $x \to +\infty$ 时 $x^{1/x}$ 趋近于 1，不是无穷大。
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