湘潭大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
七．（15 分）将 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上傅里叶展开．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出傅里叶级数形式
对于周期为 \(2\pi\) 的函数，傅里叶级数形式为：
\[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
其中系数公式为：
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx \]
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]
公式：\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos(nx) \, dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]
提示：注意区间长度为 \(2\pi\)，因此公式中分母为 \(\pi\) 而非 \(\frac{2}{T}\) 中的 \(T=2\pi\) 情形。
步骤 2/5
目标：计算 \(a_0\)
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \, dx = \frac{1}{\pi} \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{8\pi^3}{3} = \frac{8\pi^2}{3} \]
公式：\[ a_0 = \frac{8\pi^2}{3} \]
提示：积分时注意 \(x^2\) 的原函数是 \(\frac{x^3}{3}\)，代入上下限时小心计算。
步骤 3/5
目标：计算 \(a_n\)
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \cos(nx) \, dx \]
使用分部积分法。令 \( u = x^2 \), \( dv = \cos(nx) dx \), 则 \( du = 2x dx \), \( v = \frac{\sin(nx)}{n} \)。
\[ \int x^2 \cos(nx) dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \int \frac{2x \sin(nx)}{n} dx \]
再对第二项分部积分：令 \( u = 2x \), \( dv = \sin(nx) dx \), 则 \( du = 2 dx \), \( v = -\frac{\cos(nx)}{n} \)。
\[ \int 2x \sin(nx) dx = -\frac{2x \cos(nx)}{n} + \int \frac{2 \cos(nx)}{n} dx = -\frac{2x \cos(nx)}{n} + \frac{2\sin(nx)}{n^2} \]
代回：
\[ \int x^2 \cos(nx) dx = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} - \frac{1}{n}\left( -\frac{2x \cos(nx)}{n} + \frac{2\sin(nx)}{n^2} \right) = \frac{x^2 \sin(nx)}{n} + \frac{2x \cos(nx)}{n^2} - \frac{2\sin(nx)}{n^3} \]
代入上下限 \(0\) 到 \(2\pi\)：
在 \(x=2\pi\) 时，\(\sin(2n\pi)=0\), \(\cos(2n\pi)=1\)，得 \(\frac{4\pi}{n^2}\)；
在 \(x=0\) 时，\(\sin 0=0\), \(\cos 0=1\)，得 \(0\)。
因此定积分结果为 \(\frac{4\pi}{n^2}\)，于是 \( a_n = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{4\pi}{n^2} = \frac{4}{n^2} \)。
公式：\[ a_n = \frac{4}{n^2} \]
提示：分部积分时注意符号，特别是第二次分部积分中 \(v\) 的负号；代入上下限时利用三角函数的周期性简化计算。
步骤 4/5
目标：计算 \(b_n\)
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} x^2 \sin(nx) \, dx \]
使用分部积分法。令 \( u = x^2 \), \( dv = \sin(nx) dx \), 则 \( du = 2x dx \), \( v = -\frac{\cos(nx)}{n} \)。
\[ \int x^2 \sin(nx) dx = -\frac{x^2 \cos(nx)}{n} + \int \frac{2x \cos(nx)}{n} dx \]
对第二项再分部积分：令 \( u = 2x \), \( dv = \cos(nx) dx \), 则 \( du = 2 dx \), \( v = \frac{\sin(nx)}{n} \)。
\[ \int 2x \cos(nx) dx = \frac{2x \sin(nx)}{n} - \int \frac{2\sin(nx)}{n} dx = \frac{2x \sin(nx)}{n} + \frac{2\cos(nx)}{n^2} \]
代回：
\[ \int x^2 \sin(nx) dx = -\frac{x^2 \cos(nx)}{n} + \frac{1}{n}\left( \frac{2x \sin(nx)}{n} + \frac{2\cos(nx)}{n^2} \right) = -\frac{x^2 \cos(nx)}{n} + \frac{2x \sin(nx)}{n^2} + \frac{2\cos(nx)}{n^3} \]
代入上下限 \(0\) 到 \(2\pi\)：
在 \(x=2\pi\) 时，\(\cos(2n\pi)=1\), \(\sin(2n\pi)=0\)，得 \(-\frac{4\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3}\)；
在 \(x=0\) 时，\(\cos 0=1\), \(\sin 0=0\)，得 \(\frac{2}{n^3}\)。
因此定积分结果为 \(\left( -\frac{4\pi^2}{n} + \frac{2}{n^3} \right) - \frac{2}{n^3} = -\frac{4\pi^2}{n} \)，于是 \( b_n = \frac{1}{\pi} \cdot \left( -\frac{4\pi^2}{n} \right) = -\frac{4\pi}{n} \)。
公式：\[ b_n = -\frac{4\pi}{n} \]
提示：注意 \(\sin(nx)\) 的积分中 \(v\) 有负号，代入上下限时小心相减，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：写出傅里叶级数展开式
将系数代入傅里叶级数形式：
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
其中 \(\frac{a_0}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8\pi^2}{3} = \frac{4\pi^2}{3}\)，\(a_n = \frac{4}{n^2}\)，\(b_n = -\frac{4\pi}{n}\)。
因此：
\[ x^2 = \frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{n^2} \cos(nx) - \frac{4\pi}{n} \sin(nx) \right), \quad x \in [0, 2\pi] \]
公式：\[ x^2 = \frac{4\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4}{n^2} \cos(nx) - \frac{4\pi}{n} \sin(nx) \right) \]
提示：注意 \(a_0\) 项要除以2，不要遗漏；最终结果中 \(\sin(nx)\) 的系数为负。
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