湘潭大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
三．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 和拋物面 $\displaystyle 2 z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域，计算重积分
$$
\iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解区域形状与交线
球面方程为 $x^2 + y^2 + z^2 = 3$，抛物面方程为 $2z = x^2 + y^2$。将抛物面代入球面得 $2z + z^2 = 3$，即 $z^2 + 2z - 3 = 0$，解得 $z = 1$ 或 $z = -3$（舍去）。故交线在 $z=1$ 平面上，此时 $x^2 + y^2 = 2$。区域 $\Omega$ 由抛物面（下方）和球面（上方）围成。
公式：$z^2 + 2z - 3 = 0$
提示：注意抛物面 $2z = x^2 + y^2 \ge 0$ 要求 $z \ge 0$，因此舍去 $z = -3$。
步骤 2/7
目标：确定积分区域范围
对于固定的 $(x,y)$，下边界为抛物面 $z = \frac{x^2 + y^2}{2}$，上边界为球面 $z = \sqrt{3 - x^2 - y^2}$。两边界相交于 $x^2 + y^2 = 2$ 的圆上，故 $xy$ 平面投影为圆盘 $x^2 + y^2 \le 2$。积分可写为：
$$
\iiint_{\Omega} (x+y+z)^2 \,dV = \iint_{x^2+y^2\le 2} \left( \int_{z=\frac{x^2+y^2}{2}}^{\sqrt{3-x^2-y^2}} (x+y+z)^2 \, dz \right) dx\,dy
$$
公式：$z_1 = \frac{r^2}{2}, \quad z_2 = \sqrt{3 - r^2}$
提示：注意 $z$ 的下限是抛物面，上限是球面，不要颠倒。
步骤 3/7
目标：展开被积函数并利用对称性简化
展开 $(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$。由于区域关于 $x$ 和 $y$ 对称，$2xy$、$2xz$、$2yz$ 均为奇函数，在对称区域积分为零。因此原积分简化为：
$$
\iiint_{\Omega} (x^2 + y^2 + z^2) \, dV
$$
公式：$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz$
提示：利用对称性前需确认区域关于坐标轴对称，且被积函数奇偶性正确。
步骤 4/7
目标：采用柱坐标变换
令 $x = r\cos\theta,\ y = r\sin\theta,\ z = z$，则 $x^2 + y^2 + z^2 = r^2 + z^2$，体积元 $dV = r\, dr\, d\theta\, dz$。区域：$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le \sqrt{2}$，对每个 $r$，$z$ 从 $\frac{r^2}{2}$ 到 $\sqrt{3 - r^2}$。积分变为：
$$
I = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{\sqrt{2}} \int_{z=\frac{r^2}{2}}^{\sqrt{3-r^2}} (r^2+z^2)\, r\, dz\, dr\, d\theta
$$
先对 $\theta$ 积分得 $2\pi$：
$$
I = 2\pi \int_{r=0}^{\sqrt{2}} r \int_{z=\frac{r^2}{2}}^{\sqrt{3-r^2}} (r^2+z^2)\, dz\, dr
$$
公式：$dV = r\, dr\, d\theta\, dz$
提示：柱坐标中 $r$ 是 $xy$ 平面上的极径，不要遗漏 $r$ 因子。
步骤 5/7
目标：计算内层对 $z$ 的积分
计算 $\int (r^2+z^2) dz = r^2 z + \frac{z^3}{3}$，代入上下限 $z_2 = \sqrt{3-r^2}$，$z_1 = \frac{r^2}{2}$：
$$
\int_{z_1}^{z_2} (r^2+z^2) dz = r^2\sqrt{3-r^2} + \frac{(3-r^2)^{3/2}}{3} - \left( r^2\cdot\frac{r^2}{2} + \frac{(r^2/2)^3}{3} \right)
$$
化简得：
$$
= r^2\sqrt{3-r^2} + \frac{(3-r^2)^{3/2}}{3} - \frac{r^4}{2} - \frac{r^6}{24}
$$
公式：$\int (r^2+z^2) dz = r^2 z + \frac{z^3}{3}$
提示：代入下限时注意 $z_1 = r^2/2$，计算 $z_1^3$ 时要小心。
步骤 6/7
目标：乘 $r$ 并对 $r$ 积分
将内层积分结果乘以 $r$ 后对 $r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2}$ 积分：
$$
I = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2}} \left[ r^3\sqrt{3-r^2} + \frac{r(3-r^2)^{3/2}}{3} - \frac{r^5}{2} - \frac{r^7}{24} \right] dr
$$
分别计算四个积分。
(1) $A = \int_0^{\sqrt{2}} r^3 \sqrt{3-r^2}\, dr$，令 $u = 3 - r^2$，$du = -2r\, dr$，$r^3 dr = (3-u)(-du/2)$，积分限 $u$ 从 $3$ 到 $1$：
$$
A = \frac12 \int_1^3 (3u^{1/2} - u^{3/2})\, du = \left[ u^{3/2} - \frac15 u^{5/2} \right]_1^3 = \frac{6\sqrt{3} - 4}{5}
$$
(2) $B = \int_0^{\sqrt{2}} \frac{r(3-r^2)^{3/2}}{3}\, dr = \frac13 \int_0^{\sqrt{2}} r (3-r^2)^{3/2}\, dr$，令 $u = 3 - r^2$，$du = -2r\, dr$，$r\, dr = -du/2$，积分限 $u$ 从 $3$ 到 $1$：
$$
B = \frac13 \cdot \frac12 \int_1^3 u^{3/2}\, du = \frac16 \cdot \frac25 \left[ u^{5/2} \right]_1^3 = \frac{1}{15} (3^{5/2} - 1) = \frac{9\sqrt{3} - 1}{15}
$$
(3) $C = \int_0^{\sqrt{2}} \frac{r^5}{2}\, dr = \frac12 \cdot \frac{1}{6} r^6 \Big|_0^{\sqrt{2}} = \frac{1}{12} \cdot 8 = \frac{2}{3}$
(4) $D = \int_0^{\sqrt{2}} \frac{r^7}{24}\, dr = \frac{1}{24} \cdot \frac{1}{8} r^8 \Big|_0^{\sqrt{2}} = \frac{1}{192} \cdot 16 = \frac{1}{12}$
因此：
$$
I = 2\pi \left( A + B - C - D \right) = 2\pi \left( \frac{6\sqrt{3} - 4}{5} + \frac{9\sqrt{3} - 1}{15} - \frac{2}{3} - \frac{1}{12} \right)
$$
公式：$\int r^3 \sqrt{3-r^2}\, dr$ 通过换元 $u = 3 - r^2$ 计算
提示：换元时注意积分限的变化，以及 $r\, dr$ 与 $du$ 的关系。
步骤 7/7
目标：合并结果并化简
将括号内各项通分，公分母为 $60$：
$$
\frac{6\sqrt{3} - 4}{5} = \frac{72\sqrt{3} - 48}{60}, \quad \frac{9\sqrt{3} - 1}{15} = \frac{36\sqrt{3} - 4}{60}, \quad -\frac{2}{3} = -\frac{40}{60}, \quad -\frac{1}{12} = -\frac{5}{60}
$$
相加得：
$$
\frac{72\sqrt{3} - 48 + 36\sqrt{3} - 4 - 40 - 5}{60} = \frac{108\sqrt{3} - 97}{60}
$$
因此：
$$
I = 2\pi \cdot \frac{108\sqrt{3} - 97}{60} = \frac{\pi (108\sqrt{3} - 97)}{30}
$$
公式：$I = \frac{\pi (108\sqrt{3} - 97)}{30}$
提示：通分时注意各项符号，避免计算错误。
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