湘潭大学 2024年数学分析第0题

考虑含参积分 $I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x \, dx$。对于固定的 $\alpha>0$，可直接计算积分值： $$\int_0^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x \, dx = \frac{1}{\alpha^2+1}.$$ 因此对每个 $\alpha>0$，积分收敛。

对于形如 $\int_0^{+\infty} f(x,\alpha)\,dx$ 的含参广义积分，常用 Weierstrass M-判别法：若存在与 $\alpha$ 无关的可积函数 $M(x)$，使得 $|f(x,\alpha)| \leq M(x)$ 且 $\int_0^{+\infty} M(x)\,dx$ 收敛，则原积分关于 $\alpha$ 一致收敛。

当 $\alpha \geq \alpha_0 > 0$ 时，有 $$|e^{-\alpha x} \sin x| \leq e^{-\alpha x} \leq e^{-\alpha_0 x}.$$ 取 $M(x)=e^{-\alpha_0 x}$，则 $\int_0^{+\infty} e^{-\alpha_0 x}\,dx = \frac{1}{\alpha_0} < +\infty$。由 Weierstrass M-判别法，积分在 $[\alpha_0, +\infty)$ 上一致收敛。

当 $\alpha$ 可以任意接近 $0$ 时，被积函数衰减变慢，无法找到统一的控制函数。我们怀疑不一致收敛，需用柯西准则的反面证明。

取 $\varepsilon_0 = \frac{1}{2}$。对任意大的 $A$，选取正整数 $k$ 使得 $2k\pi > A$，令 $B = 2k\pi + \pi$，$\alpha = \frac{1}{B}$。则 $$\int_A^B e^{-\alpha x}\sin x\,dx \geq \int_{2k\pi}^{2k\pi+\pi} e^{-x/B}\sin x\,dx \geq e^{-1} \int_{2k\pi}^{2k\pi+\pi} \sin x\,dx = e^{-1} \cdot 2 > \frac{1}{2}.$$ 因此不满足一致收敛的柯西条件，故在 $\alpha>0$ 时积分不一致收敛。

(1) 对任意固定的 $\alpha_0>0$，当 $\alpha \in [\alpha_0, +\infty)$ 时，积分一致收敛。 (2) 当 $\alpha \in (0, +\infty)$ 时，积分不一致收敛。