湘潭大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
八．（20 分）设 $\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}, E(s)=\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-p_{n}^{s}}, s>1$ ，其中 $\displaystyle p_{n}$ 为第 $n$ 个质数。
（1）证明：$\displaystyle \zeta(s)$ 与 $\displaystyle E(s)$ 均收敛．
（2）证明：$\displaystyle \zeta(s)=E(s)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明 ζ(s) 收敛
对于 $s>1$，函数 $f(x)=1/x^s$ 在 $[1,\infty)$ 上单调递减且非负。由积分判别法，级数 $\sum_{n=1}^\infty 1/n^s$ 与积分 $\int_1^\infty x^{-s} dx$ 同敛散。计算积分：
\[
\int_1^\infty x^{-s} dx = \left. \frac{x^{1-s}}{1-s} \right|_{1}^{\infty} = \frac{1}{s-1},
\]
因为 $s>1$ 时 $1-s<0$，$x\to\infty$ 时 $x^{1-s}\to 0$，积分收敛。故 $\zeta(s)$ 收敛。
公式：\int_1^\infty x^{-s} dx = \frac{1}{s-1} \quad (s>1)
提示：注意积分判别法的使用条件：被积函数需单调递减且非负。
步骤 2/5
目标：证明 E(s) 收敛
无穷乘积 $E(s)=\prod_{n=1}^\infty \frac{1}{1-p_n^{-s}}$ 收敛（到非零有限值）的充要条件是 $\sum_{n=1}^\infty p_n^{-s}$ 收敛，因为当 $p_n^{-s}$ 很小时，$\ln\left(\frac{1}{1-p_n^{-s}}\right) \sim p_n^{-s}$。由质数定理，$p_n \sim n\ln n$，故 $p_n^{-s} \sim \frac{1}{n^s (\ln n)^s}$。由于 $s>1$，级数 $\sum \frac{1}{n^s}$ 收敛，且对数项不影响收敛性，因此 $\sum p_n^{-s}$ 收敛，从而无穷乘积 $E(s)$ 收敛。
公式：\sum_{n=1}^\infty p_n^{-s} \sim \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s (\ln n)^s} \quad (s>1)
提示：无穷乘积收敛的判别法：对于正项乘积 $\prod (1+a_n)$，$\sum a_n$ 收敛是乘积收敛的充要条件（当 $a_n$ 很小时）。
步骤 3/5
目标：将无穷乘积展开为几何级数
对于每个质数 $p$，当 $s>1$ 时，$0
公式：\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{k=0}^\infty p^{-ks}
提示：几何级数展开要求公比绝对值小于1，这里 $p^{-s}<1$ 成立。
步骤 4/5
目标：利用算术基本定理将乘积转化为求和
将有限乘积展开，每个因子 $\sum_{k=0}^\infty p^{-ks}$ 中的项 $p^{-ks}$ 对应质数 $p$ 的 $k$ 次幂。由算术基本定理，每个正整数 $n$ 可唯一分解为质因数的乘积。当我们将所有 $p\le N$ 的几何级数相乘时，每个 $n$ 若其所有质因子 $\le N$，则恰好对应一项 $\frac{1}{n^s}$。因此：
\[
\prod_{p \le N} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n \in A_N} \frac{1}{n^s},
\]
其中 $A_N$ 是所有质因子不超过 $N$ 的正整数集合。
公式：\prod_{p \le N} \frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n \in A_N} \frac{1}{n^s}
提示：注意 $A_N$ 包含所有 $\le N$ 的正整数，但也包含一些大于 $N$ 但质因子全 $\le N$ 的数（如 $2\times 3=6$ 当 $N=3$ 时）。
步骤 5/5
目标：建立不等式并取极限
由于 $A_N$ 包含所有 $1,2,\ldots,N$，故有：
\[
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^s} \le \sum_{n \in A_N} \frac{1}{n^s} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \zeta(s).
\]
令 $N\to\infty$，左边 $\sum_{n=1}^N 1/n^s \to \zeta(s)$，由夹逼定理得：
\[
\lim_{N\to\infty} \prod_{p \le N} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s).
\]
即 $E(s)=\zeta(s)$。
公式：\lim_{N\to\infty} \prod_{p \le N} \frac{1}{1-p^{-s}} = \zeta(s)
提示：夹逼定理要求左右两边极限相等，这里左边是部分和，右边是常数 $\zeta(s)$，中间是乘积。
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