湘潭大学 2024年数学分析第0题
📝 题目
四．（15 分）已知 $\displaystyle \Sigma$ 为封闭曲面，$l$ 为固定向量，$n$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 的外法向量，证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \cos (n, l) \mathrm{d} S=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将方向余弦转化为向量点积形式
设 $n_0$ 为曲面 $\Sigma$ 的单位外法向量，$l_0$ 为固定向量 $l$ 方向的单位向量，则 $\cos(n,l) = n_0 \cdot l_0$。于是被积函数可写为 $\cos(n,l) \, \mathrm{d}S = (n_0 \cdot l_0) \, \mathrm{d}S = l_0 \cdot (n_0 \, \mathrm{d}S)$。注意到 $n_0 \, \mathrm{d}S = \mathrm{d}\mathbf{S}$ 为有向面积元向量，因此原积分化为 $\iint_{\Sigma} \cos(n,l) \, \mathrm{d}S = \iint_{\Sigma} l_0 \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}$。
公式：\cos(n,l) = n_0 \cdot l_0, \quad \mathrm{d}\mathbf{S} = n_0 \, \mathrm{d}S
提示：注意 $l_0$ 是常向量，可以提到积分号外，但需先确认 $l_0$ 为单位向量，若 $l$ 不是单位向量，则需先单位化。
步骤 2/4
目标：将常向量提出积分号
由于 $l_0$ 是常向量，与积分变量无关，因此 $\iint_{\Sigma} l_0 \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = l_0 \cdot \iint_{\Sigma} \mathrm{d}\mathbf{S}$。
公式：\iint_{\Sigma} l_0 \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = l_0 \cdot \iint_{\Sigma} \mathrm{d}\mathbf{S}
提示：常向量点积与积分次序可交换，但需注意点积的线性性质。
步骤 3/4
目标：应用高斯散度定理计算封闭曲面积分
对于封闭曲面 $\Sigma$，高斯散度定理给出 $\iint_{\Sigma} \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$，其中 $\mathbf{F}$ 是任意向量场。取 $\mathbf{F}$ 为常向量场，例如 $\mathbf{F} = (1,0,0)$，则 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$。因此 $\iint_{\Sigma} \mathrm{d}\mathbf{S} = \mathbf{0}$。
公式：\iint_{\Sigma} \mathrm{d}\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \mathbf{0} \quad (\text{当 } \mathbf{F} \text{ 为常向量场})
提示：高斯公式要求曲面封闭且定向为外侧，本题已满足条件。常向量场的散度为零是直接结论。
步骤 4/4
目标：得出最终结论
将上一步结果代入，得 $\iint_{\Sigma} \cos(n,l) \, \mathrm{d}S = l_0 \cdot \mathbf{0} = 0$，证毕。
公式：\iint_{\Sigma} \cos(n,l) \, \mathrm{d}S = 0
提示：注意 $l_0$ 是单位向量，点乘零向量结果为零，与 $l_0$ 的方向无关。
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