湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将一般项改写为分式形式
对于每个因子 $1 - \frac{1}{k^2}$，通分得到 $\frac{k^2-1}{k^2}$，再利用平方差公式分解：$k^2-1 = (k-1)(k+1)$，因此 $1 - \frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$。
公式：$1 - \frac{1}{k^2} = \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$
提示：注意 $k$ 从 $2$ 开始，不要遗漏因子。
步骤 2/6
目标：写出乘积的展开形式
将 $n-1$ 个因子连乘：$\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \cdots \frac{(n-1)(n+1)}{n^2}$。
公式：$\displaystyle \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$
提示：写出前几项有助于观察规律。
步骤 3/6
目标：分别整理分子和分母
分子是所有 $(k-1)$ 和 $(k+1)$ 的乘积：$1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (n-1) \cdot (n+1)$。分母是所有 $k^2$ 的乘积：$2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdots n^2$。
公式：分子 $= \prod_{k=2}^{n} (k-1)(k+1)$，分母 $= \prod_{k=2}^{n} k^2$
提示：注意分子中每个数字出现的次数不同，需要仔细统计。
步骤 4/6
目标：统计分子中每个数字出现的次数
观察分子：数字 $1$ 出现 $1$ 次（来自第一项的 $1$），数字 $2$ 出现 $1$ 次（来自第二项的 $2$），数字 $3$ 出现 $2$ 次（第一项的 $3$ 和第三项的 $3$），数字 $4$ 出现 $2$ 次，依此类推，直到数字 $n-1$ 出现 $2$ 次，数字 $n$ 出现 $1$ 次（来自第 $n-1$ 项的 $n$），数字 $n+1$ 出现 $1$ 次（来自第 $n$ 项的 $n+1$）。因此分子可写为 $1 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdots (n-1)^2 \cdot n \cdot (n+1)$。
公式：分子 $= 1 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdots (n-1)^2 \cdot n \cdot (n+1)$
提示：注意中间的数字（3到n-1）各出现两次，两端数字（1,2,n,n+1）各出现一次。
步骤 5/6
目标：化简乘积表达式
原乘积 $= \dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdots (n-1)^2 \cdot n \cdot (n+1)}{2^2 \cdot 3^2 \cdot 4^2 \cdots n^2}$。分子分母中共同的平方项 $3^2, 4^2, \dots, (n-1)^2$ 可以约去，剩余分子为 $1 \cdot 2 \cdot n \cdot (n+1)$，分母为 $2^2 \cdot n^2$。因此 $P_n = \dfrac{2n(n+1)}{4n^2} = \dfrac{n+1}{2n}$。
公式：$P_n = \frac{n+1}{2n}$
提示：约分时注意 $2^2=4$，不要漏掉因子。
步骤 6/6
目标：求极限得到最终结果
计算 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} P_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1}{2}$。
公式：$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}$
提示：极限计算时，分子分母同除以 $n$ 即可。
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