湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将括号内的表达式进行有理化变形
设 $A = \sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} - 2\sqrt{x}$。分别计算 $\sqrt{x+1} - \sqrt{x}$ 和 $\sqrt{x-1} - \sqrt{x}$：
$$
\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}, \quad \sqrt{x-1} - \sqrt{x} = \frac{-1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}
$$
因此
$$
A = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}
$$
公式：\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}, \quad \sqrt{x-1} - \sqrt{x} = \frac{-1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x}}
提示：注意符号：$\sqrt{x-1} - \sqrt{x}$ 有理化后分子为 $-1$。
步骤 2/6
目标：合并两个分式并化简分子
通分得：
$$
A = \frac{(\sqrt{x-1}+\sqrt{x}) - (\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})}
$$
公式：A = \frac{\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})}
提示：分子化简时注意 $\sqrt{x}$ 项相消。
步骤 3/6
目标：对分子再次有理化
对分子 $\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1}$ 有理化：
$$
\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \frac{(x-1)-(x+1)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}} = \frac{-2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}
$$
代入得：
$$
A = \frac{-2}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x})(\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1})}
$$
公式：\sqrt{x-1} - \sqrt{x+1} = \frac{-2}{\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}}
提示：分子有理化后分母出现三个根式乘积，注意不要遗漏。
步骤 4/6
目标：分析 $A$ 的无穷小阶数
当 $x \to +\infty$ 时，每个根式 $\sqrt{x+1}, \sqrt{x-1}, \sqrt{x}$ 均等价于 $\sqrt{x}$，因此分母中每个因子近似为 $2\sqrt{x}$，三个因子相乘近似为 $8x^{3/2}$，故
$$
A \sim \frac{-2}{8x^{3/2}} = -\frac{1}{4}x^{-3/2}
$$
公式：A \sim -\frac{1}{4}x^{-3/2}
提示：注意阶数分析：分母是 $x^{3/2}$ 量级，分子是常数，故 $A$ 是 $x^{-3/2}$ 阶无穷小。
步骤 5/6
目标：计算原极限
原极限为 $\lim_{x\to+\infty} x^{3/2} \cdot A$，代入 $A$ 的等价形式：
$$
\lim_{x\to+\infty} x^{3/2} \cdot \left( -\frac{1}{4}x^{-3/2} \right) = -\frac{1}{4}
$$
公式：\lim_{x\to+\infty} x^{3/2} A = -\frac{1}{4}
提示：乘 $x^{3/2}$ 后恰好消去 $x^{-3/2}$，得到常数极限。
步骤 6/6
目标：用泰勒展开验证结果
令 $t=1/x$，当 $t\to0^+$ 时，利用展开：
$$
\sqrt{x+1} = \sqrt{x}\left(1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+O(x^{-3})\right), \quad \sqrt{x-1} = \sqrt{x}\left(1-\frac{1}{2x}-\frac{1}{8x^2}+O(x^{-3})\right)
$$
相加得：
$$
\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} = \sqrt{x}\left(2 - \frac{1}{4x^2} + O(x^{-3})\right)
$$
减去 $2\sqrt{x}$ 得：
$$
\sqrt{x}\left(-\frac{1}{4x^2}+O(x^{-3})\right) = -\frac{1}{4}x^{-3/2}+O(x^{-5/2})
$$
乘以 $x^{3/2}$ 得 $-\frac{1}{4}+O(x^{-1})$，极限为 $-\frac{1}{4}$。
公式：\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1} = 2\sqrt{x} - \frac{1}{4}x^{-3/2} + O(x^{-5/2})
提示：泰勒展开时注意保留到 $x^{-2}$ 项，才能得到正确的 $x^{-3/2}$ 阶。
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