湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
七．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $I$ 上的凸函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在区间 $I$ 的任一闭子区间上有界．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆凸函数的定义与基本性质
设 \( f \) 是区间 \( I \) 上的凸函数，即对任意 \( x_1, x_2 \in I \) 和任意 \( t \in [0,1] \)，有 \( f(tx_1 + (1-t)x_2) \le t f(x_1) + (1-t)f(x_2) \)。这个不等式是凸函数的核心性质。
公式：f(tx_1 + (1-t)x_2) \le t f(x_1) + (1-t)f(x_2)
提示：注意凸函数定义中不等式方向，不要与凹函数混淆。
步骤 2/5
目标：将问题转化为证明在任意闭子区间上有上界和下界
设闭子区间为 \([a,b] \subseteq I\)。我们要证明存在常数 \(M\) 和 \(m\)，使得对任意 \(x \in [a,b]\)，有 \(m \le f(x) \le M\)。
提示：有界性需要同时证明上界和下界的存在性。
步骤 3/5
目标：先证明有上界
对于任意 \(x \in [a,b]\)，存在 \(t \in [0,1]\) 使得 \(x = t a + (1-t) b\)。由凸性定义，有 \(f(x) \le t f(a) + (1-t) f(b) \le \max\{f(a), f(b)\}\)。因此，对一切 \(x \in [a,b]\)，\(f(x) \le \max\{f(a), f(b)\}\)。所以上界可取 \(M = \max\{f(a), f(b)\}\)。
公式：f(x) \le t f(a) + (1-t) f(b) \le \max\{f(a), f(b)\}
提示：加权平均值不会超过两个数的最大值，这是证明上界的关键。
步骤 4/5
目标：利用中点构造下界
取区间中点 \(m = \frac{a+b}{2}\)。对任意 \(x \in [a,b]\)，存在 \(y = 2m - x\) 也在 \([a,b]\) 中，使得 \(m\) 是 \(x\) 和 \(y\) 的中点。由凸性：\(f(m) \le \frac{f(x)+f(y)}{2}\)。于是 \(f(x) \ge 2f(m) - f(y)\)。由于 \(y \in [a,b]\)，由已证的上界知 \(f(y) \le \max\{f(a), f(b)\}\)，所以 \(f(x) \ge 2f(m) - \max\{f(a), f(b)\}\)。
公式：f(x) \ge 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) - \max\{f(a), f(b)\}
提示：这里利用中点对称性构造下界，注意 \(y\) 也在区间内，从而可以使用上界结果。
步骤 5/5
目标：总结有界性
我们已经找到：上界 \(M = \max\{f(a), f(b)\}\)，下界 \(m = 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) - M\)。因此 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界。
公式：m \le f(x) \le M
提示：下界表达式中的 \(f\left(\frac{a+b}{2}\right)\) 是有限值，因为中点也在区间内。
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