湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三．（15分）设 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是严格单调增加的正无穷大量，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
已知 $\{y_n\}$ 严格单调增加且 $y_n \to +\infty$，且 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} = 0$。要证明 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} = 0
提示：注意分母 $y_n - y_{n-1} > 0$，因为严格单调增加。
步骤 2/6
目标：利用极限定义写出不等式
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N \in \mathbb{N}$，当 $n > N$ 时，有 $\left| \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} \right| < \varepsilon$。由于分母为正，可得 $|x_n - x_{n-1}| < \varepsilon (y_n - y_{n-1})$。
公式：|x_n - x_{n-1}| < \varepsilon (y_n - y_{n-1})
提示：注意绝对值不等式的方向，分母为正所以可以直接乘过去。
步骤 3/6
目标：累加不等式得到 $x_m$ 的估计
对任意 $m > N$，从 $k = N+1$ 到 $m$ 累加：$\sum_{k=N+1}^{m} |x_k - x_{k-1}| < \varepsilon \sum_{k=N+1}^{m} (y_k - y_{k-1}) = \varepsilon (y_m - y_N)$。由绝对值不等式，$|x_m - x_N| \le \sum_{k=N+1}^{m} |x_k - x_{k-1}| < \varepsilon (y_m - y_N)$，因此 $|x_m| < |x_N| + \varepsilon (y_m - y_N)$。
公式：|x_m| < |x_N| + \varepsilon (y_m - y_N)
提示：累加时注意 $y_k - y_{k-1}$ 是 telescoping 形式，求和后得到 $y_m - y_N$。
步骤 4/6
目标：构造 $\frac{x_m}{y_m}$ 的上界
两边除以正数 $y_m$（$m$ 充分大时 $y_m > 0$），得 $\left| \frac{x_m}{y_m} \right| < \frac{|x_N|}{y_m} + \varepsilon \left(1 - \frac{y_N}{y_m}\right)$。
公式：\left| \frac{x_m}{y_m} \right| < \frac{|x_N|}{y_m} + \varepsilon \left(1 - \frac{y_N}{y_m}\right)
提示：注意 $y_m$ 为正且趋于无穷，$\frac{y_N}{y_m}$ 最终会很小。
步骤 5/6
目标：利用 $y_m \to +\infty$ 进一步放缩
由于 $y_m \to +\infty$，存在 $M > N$，当 $m > M$ 时，$\frac{|x_N|}{y_m} < \varepsilon$ 且 $\frac{y_N}{y_m} < 1$。于是 $\left| \frac{x_m}{y_m} \right| < \varepsilon + \varepsilon (1 - 0) = 2\varepsilon$。
公式：\left| \frac{x_m}{y_m} \right| < 2\varepsilon
提示：这里 $\frac{y_N}{y_m}$ 虽然为正，但小于1，所以 $1 - \frac{y_N}{y_m} < 1$，放缩时取最坏情况。
步骤 6/6
目标：由极限定义得出结论
对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $M$，当 $m > M$ 时，$\left| \frac{x_m}{y_m} \right| < 2\varepsilon$，即 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} = 0
提示：注意 $2\varepsilon$ 也是任意小的正数，因此极限为0。
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