湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
九．（15分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ．
（1）（9分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续．
（2）（6 分）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 发散．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：验证逐项可导的条件
考虑一般项 $u_n(x) = \frac{1}{2^n + x}$，它在 $[0,+\infty)$ 上光滑，且 $u_n'(x) = -\frac{1}{(2^n + x)^2}$。对任意 $x \ge 0$，有 $|u_n'(x)| \le \frac{1}{2^{2n}}$，而 $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{2n}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}$ 收敛。由 Weierstrass M-判别法，$\sum_{n=0}^\infty u_n'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收敛。
公式：|u_n'(x)| \le \frac{1}{2^{2n}}, \quad \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n} = \frac{1}{1-1/4} = \frac{4}{3}
提示：注意一致收敛的判别需要找到与 x 无关的控制级数，这里用 $2^{2n}$ 是有效的，因为 $2^n + x \ge 2^n$。
步骤 2/5
目标：证明可导性
由于导函数级数一致收敛，且原级数 $\sum u_n(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上逐点收敛，根据函数项级数逐项求导定理，$f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $f'(x) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2^n + x)^2}$，该导函数连续。
公式：f'(x) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2^n + x)^2}
提示：逐项求导定理要求原级数在某点收敛且导函数级数一致收敛，这里均满足。
步骤 3/5
目标：证明一致连续性
由导函数表达式，对任意 $x \ge 0$，有 $|f'(x)| \le \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{2n}} = \frac{4}{3}$，故 $f'(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致有界。由拉格朗日中值定理，对任意 $x_1, x_2 \ge 0$，存在 $\xi$ 介于两者之间，使得 $|f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)||x_1-x_2| \le \frac{4}{3}|x_1-x_2|$。因此 $f$ 满足 Lipschitz 条件，从而在 $[0,+\infty)$ 上一致连续。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| \le \frac{4}{3}|x_1-x_2|
提示：一致连续性的常用充分条件是导数有界，但注意这里导数有界是在整个区间上，而不仅仅是局部。
步骤 4/5
目标：将反常积分转化为级数求和
考虑 $\int_0^{+\infty} f(x) dx = \int_0^{+\infty} \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n + x} dx$。由于所有项非负，由单调收敛定理（或非负可测函数逐项积分定理），可以交换积分与求和顺序：$\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^{+\infty} \frac{1}{2^n + x} dx$。
公式：\int_0^{+\infty} f(x) dx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^{+\infty} \frac{1}{2^n + x} dx
提示：交换次序需要验证非负性，这里每一项都是正的，因此可以使用单调收敛定理。
步骤 5/5
目标：计算内层积分并判断发散性
计算 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{2^n + x} dx = \lim_{b \to +\infty} [\ln(2^n + x)]_0^b = \lim_{b \to +\infty} \ln(2^n + b) - \ln(2^n) = +\infty$。因此每一项的积分都发散到 $+\infty$，从而级数的和也是 $+\infty$，即原反常积分发散。
公式：\int_0^{+\infty} \frac{1}{2^n + x} dx = +\infty
提示：注意这里每一项积分发散，因此整个和发散，不需要进一步比较。
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