湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1． $\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简被积函数
利用三角恒等式 $1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$，则 $\sqrt{1 - \cos 2x} = \sqrt{2\sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$。原积分化为 $\sqrt{2} \int_0^{100\pi} |\sin x| \, dx$。
公式：$1 - \cos 2x = 2\sin^2 x$
提示：注意开平方后要加绝对值，因为 $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$，不能直接写成 $\sin x$。
步骤 2/5
目标：分析绝对值函数的周期性
函数 $|\sin x|$ 的周期为 $\pi$，因为 $\sin x$ 在每个长度为 $\pi$ 的区间上符号交替，但绝对值形状相同。在 $[0, \pi]$ 上，$\sin x \ge 0$，故 $|\sin x| = \sin x$。
公式：$|\sin(x+\pi)| = |\sin x|$
提示：不要误以为 $|\sin x|$ 的周期是 $2\pi$，实际上由于绝对值的作用，周期缩短为 $\pi$。
步骤 3/5
目标：计算一个周期内的积分
计算 $\int_0^\pi |\sin x| \, dx = \int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$。
公式：$\int_0^\pi \sin x \, dx = 2$
提示：注意代入上下限时符号：$\cos\pi = -1$，$\cos 0 = 1$，所以 $(-(-1)) - (-1) = 1+1=2$。
步骤 4/5
目标：利用周期性计算整个区间积分
积分区间 $[0, 100\pi]$ 正好是 $100$ 个周期，每个周期长度为 $\pi$，因此 $\int_0^{100\pi} |\sin x| \, dx = 100 \times \int_0^\pi |\sin x| \, dx = 100 \times 2 = 200$。
公式：$\int_0^{n\pi} |\sin x| \, dx = n \cdot \int_0^\pi |\sin x| \, dx$（$n$ 为正整数）
提示：只有当区间长度是周期的整数倍时才能直接乘以周期数，否则需要分段处理。
步骤 5/5
目标：乘以系数得到最终结果
原积分 $= \sqrt{2} \times 200 = 200\sqrt{2}$。
公式：$\sqrt{2} \cdot 200 = 200\sqrt{2}$
提示：最终结果保留根号形式，不要近似为小数。
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