湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数在区间上的行为
积分区间为 $[0,1]$，被积函数为 $f_n(x)=\frac{x^n}{1+x}$。当 $n$ 很大时，对于 $0 \le x < 1$，$x^n \to 0$；仅在 $x=1$ 处 $x^n=1$。由于单点测度为0，直观上积分值可能趋于0。
公式：f_n(x)=\frac{x^n}{1+x}
提示：注意 $x=1$ 是端点，但积分中单点不影响积分值。
步骤 2/4
目标：建立不等式放缩
由于 $0 \le x \le 1$，分母 $1+x \ge 1$，因此 $\frac{x^n}{1+x} \le x^n$。同时被积函数非负，故有 $0 \le \frac{x^n}{1+x} \le x^n$。
公式：0 \le \frac{x^n}{1+x} \le x^n
提示：放缩时注意分母的最小值，确保不等式方向正确。
步骤 3/4
目标：计算放缩后的积分
对不等式两边在 $[0,1]$ 上积分，得 $0 \le \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx \le \int_0^1 x^n \, dx$。而 $\int_0^1 x^n \, dx = \left[\frac{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1 = \frac{1}{n+1}$。
公式：\int_0^1 x^n \, dx = \frac{1}{n+1}
提示：计算定积分时注意幂函数积分公式。
步骤 4/4
目标：取极限并应用夹逼准则
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n+1} \to 0$。由夹逼准则，$\lim_{n \to \infty} \int_0^1 \frac{x^n}{1+x} \, dx = 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0
提示：夹逼准则要求不等式两端极限相等，此处两端均为0。
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