湘潭大学 2025年数学分析第0题

该反常积分同时包含 $x=0$ 附近的瑕点和 $x\to+\infty$ 的无穷限积分，因此将积分区间拆分为 $\int_0^1$ 和 $\int_1^{+\infty}$ 两部分分别讨论收敛性。

当 $x\to 0^+$ 时，$\ln(1+x) \sim x$，因此被积函数 $\frac{\ln(1+x)}{x^p} \sim \frac{x}{x^p} = x^{1-p}$。积分 $\int_0^1 x^{1-p} dx$ 在 $x=0$ 附近收敛当且仅当 $1-p > -1$，即 $p < 2$。

当 $x\to +\infty$ 时，$\ln(1+x) \sim \ln x$，因此被积函数 $\frac{\ln(1+x)}{x^p} \sim \frac{\ln x}{x^p}$。对于无穷限积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^p} dx$，利用比较判别法：对任意 $\varepsilon>0$，$\ln x$ 增长慢于 $x^\varepsilon$，故当 $p>1$ 时收敛，当 $p\le 1$ 时发散。

0附近收敛要求 $p<2$，无穷远处收敛要求 $p>1$。两部分同时收敛需同时满足，即 $1 < p < 2$。当 $p \le 1$ 时，无穷远处发散；当 $p \ge 2$ 时，0附近发散。

当 $p=1$ 时，积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x} dx$ 在无穷远处发散（因为 $\frac{\ln(1+x)}{x} \sim \frac{\ln x}{x}$，其原函数 $\frac{1}{2}(\ln x)^2$ 发散）；当 $p=2$ 时，积分 $\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{x^2} dx$ 在0附近发散（因为 $\frac{\ln(1+x)}{x^2} \sim \frac{1}{x}$，积分发散）。因此边界均不收敛。

综上所述，反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+x)}{x^p} dx$ 收敛当且仅当 $1 < p < 2$；当 $p \le 1$ 或 $p \ge 2$ 时发散。