湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
八．（15 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上存在二阶连续的导数，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 有界．试证：
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极限存在性得到函数值差的估计
因为 $\lim_{x \to +\infty} \varphi(x) = L$ 存在，由柯西收敛准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $X > 0$，使得当 $x, y \ge X$ 时，有 $|\varphi(x) - \varphi(y)| < \varepsilon$。特别地，取 $y = x + \delta$（其中 $\delta > 0$ 待定），则当 $x \ge X$ 时，$|\varphi(x+\delta) - \varphi(x)| < \varepsilon$。
公式：$\forall \varepsilon>0, \exists X>0, \forall x \ge X: |\varphi(x+\delta) - \varphi(x)| < \varepsilon$
提示：注意这里 $\delta$ 是后续需要选取的任意小正数，不能固定为1，否则后续用导数有界估计时会遇到困难。
步骤 2/4
目标：用拉格朗日中值定理联系一阶导数
对任意 $x \ge X$，在区间 $[x, x+\delta]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi_x \in (x, x+\delta)$，使得 $\varphi(x+\delta) - \varphi(x) = \varphi'(\xi_x) \cdot \delta$。结合第一步的估计，得到 $|\varphi'(\xi_x)| < \frac{\varepsilon}{\delta}$。为了后续方便，我们令 $\varepsilon$ 替换为 $\frac{\varepsilon \delta}{2}$，则存在 $X$ 使得当 $x \ge X$ 时，$|\varphi(x+\delta) - \varphi(x)| < \frac{\varepsilon \delta}{2}$，从而 $|\varphi'(\xi_x)| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\varphi(x+\delta) - \varphi(x) = \varphi'(\xi_x) \delta \Rightarrow |\varphi'(\xi_x)| < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：这里 $\delta$ 尚未确定，需要与二阶导数有界配合选取。
步骤 3/4
目标：利用二阶导数有界控制导数的变化
已知 $\varphi''(x)$ 有界，即存在常数 $M>0$，使得 $|\varphi''(x)| \le M$ 对所有 $x \ge 0$ 成立。由拉格朗日中值定理的推论（或微分中值不等式），对任意 $a, b \ge 0$，有 $|\varphi'(a) - \varphi'(b)| \le M |a-b|$。
公式：$|\varphi'(a) - \varphi'(b)| \le M |a-b|$
提示：这个不等式是Lipschitz条件，由二阶导数有界直接推出。
步骤 4/4
目标：选取合适的 $\delta$ 并完成证明
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $\delta = \frac{\varepsilon}{2M}$（若 $M=0$ 则 $\varphi'$ 为常数，由极限存在易得导数为0，结论平凡）。由第二步，存在 $X$ 使得当 $x \ge X$ 时，存在 $\xi_x \in (x, x+\delta)$ 满足 $|\varphi'(\xi_x)| < \frac{\varepsilon}{2}$。现在对任意 $t \ge X$，取 $x = t$，则 $\xi_t \in (t, t+\delta)$，且 $|t - \xi_t| \le \delta$。由第三步的不等式：$|\varphi'(t) - \varphi'(\xi_t)| \le M |t - \xi_t| \le M\delta = \frac{\varepsilon}{2}$。于是 $|\varphi'(t)| \le |\varphi'(t) - \varphi'(\xi_t)| + |\varphi'(\xi_t)| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。由 $\varepsilon$ 的任意性，$\lim_{x \to +\infty} \varphi'(x) = 0$。
公式：$|\varphi'(t)| < \varepsilon$ 对任意 $t \ge X$ 成立
提示：关键技巧是让区间长度 $\delta$ 与 $\varepsilon$ 和 $M$ 关联，使得 $M\delta = \varepsilon/2$，从而三角不等式能凑出 $\varepsilon$。
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