湘潭大学 2025年数学分析第0题

抛物线方程为 $y^2 = 2px$（$p>0$），直线方程为 $x = \frac{p}{2}$。两者围成的区域 $D$ 是抛物线内部且在直线左侧的部分。由抛物线方程，当 $x = \frac{p}{2}$ 时，$y^2 = p^2$，得 $y = \pm p$。对于固定的 $y$，$x$ 从抛物线左边界 $x = \frac{y^2}{2p}$ 到直线 $x = \frac{p}{2}$，因此区域可表示为 $D: -p \le y \le p,\ \frac{y^2}{2p} \le x \le \frac{p}{2}$。

由于 $x$ 的上下限依赖于 $y$，先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分较为方便。累次积分为：$\iint_D x y^2 \, dxdy = \int_{-p}^{p} \left( \int_{\frac{y^2}{2p}}^{\frac{p}{2}} x y^2 \, dx \right) dy$。

内层积分：$\int_{\frac{y^2}{2p}}^{\frac{p}{2}} x y^2 \, dx = y^2 \int_{\frac{y^2}{2p}}^{\frac{p}{2}} x \, dx = y^2 \cdot \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{y^2}{2p}\right)^2 \right] = y^2 \cdot \frac{1}{2} \left( \frac{p^2}{4} - \frac{y^4}{4p^2} \right) = \frac{p^2 y^2}{8} - \frac{y^6}{8p^2}$。

外层积分：$\int_{-p}^{p} \left( \frac{p^2 y^2}{8} - \frac{y^6}{8p^2} \right) dy$。被积函数是偶函数，故可化为 $2 \int_0^p \left( \frac{p^2 y^2}{8} - \frac{y^6}{8p^2} \right) dy$。分别积分：$\int_0^p \frac{p^2 y^2}{8} dy = \frac{p^2}{8} \cdot \frac{p^3}{3} = \frac{p^5}{24}$，$\int_0^p \frac{y^6}{8p^2} dy = \frac{1}{8p^2} \cdot \frac{p^7}{7} = \frac{p^5}{56}$。相减得 $\frac{p^5}{24} - \frac{p^5}{56} = \frac{7p^5}{168} - \frac{3p^5}{168} = \frac{4p^5}{168} = \frac{p^5}{42}$，再乘以2得 $\frac{p^5}{21}$。

因此，重积分的结果为 $\frac{p^5}{21}$。