湘潭大学 2025年数学分析第0题

曲面 $S$ 是锥面 $z^2 = x^2 + y^2$ 在 $0 \le z \le 2$ 的部分，方向取下侧。下侧意味着法向量指向下方，即与 $z$ 轴正方向相反。

曲面 $S$ 不封闭，补上底面圆盘 $S_1: z=2, x^2+y^2 \le 4$，方向取上侧（使整体封闭曲面的外侧为 $S$ 下侧 + $S_1$ 上侧）。记封闭曲面为 $S \cup S_1$，方向外侧。

设 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其中 $P = y - x^3$（对应 $dy\,dz$），$Q = y^3 - z$（对应 $dz\,dx$），$R = 2$（对应 $dx\,dy$）。计算散度： \[ \frac{\partial P}{\partial x} = -3x^2,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 3y^2,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 0 \] 所以 $\nabla \cdot \mathbf{F} = -3x^2 + 3y^2 = 3(y^2 - x^2)$。

封闭曲面所围区域 $V$ 为锥体：$0 \le z \le 2$，$x^2+y^2 \le z^2$。由高斯公式： \[ \iint_{S \cup S_1} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_V 3(y^2 - x^2) \, dV \] 对于固定的 $z$，区域为圆盘 $x^2+y^2 \le z^2$，积分 $\iint_{x^2+y^2 \le z^2} (y^2 - x^2) \, dx\,dy = 0$（对称性），故三重积分为 $0$。因此封闭曲面积分为 $0$。

底面 $S_1: z=2$，方向取上侧（法向量与 $z$ 轴正向一致）。在底面上 $dz=0$，所以 $dy\,dz$ 和 $dz\,dx$ 项均为 $0$，只剩 $R\,dx\,dy = 2\,dx\,dy$。上侧对应 $dx\,dy$ 符号为正，故 \[ \iint_{S_1} 2\,dx\,dy = 2 \times \text{底面积} = 2 \times (\pi \cdot 2^2) = 8\pi \]

由封闭曲面外侧积分等于 $0$，即 \[ \iint_{S} (\text{下侧}) + \iint_{S_1} (\text{上侧}) = 0 \] 代入得 \[ \iint_{S} (\text{下侧}) + 8\pi = 0 \] 所以 \[ \iint_{S} (\text{下侧}) = -8\pi \]