湘潭大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
四．（10分）证明不等式：$\displaystyle x-\frac{x^{2}}{2}<\ln (1+x)<x, x>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明右边不等式：ln(1+x) < x
考虑函数 $f(x) = x - \ln(1+x)$，定义域为 $x > -1$。求导得 $f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$。当 $x > 0$ 时，$f'(x) > 0$，故 $f(x)$ 在 $(0, +\infty)$ 上严格递增。又 $f(0) = 0 - \ln 1 = 0$，因此当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$，即 $x > \ln(1+x)$。
公式：$f'(x) = \frac{x}{1+x}$
提示：注意定义域为 $x > -1$，但只需考虑 $x>0$ 的情况。
步骤 2/3
目标：证明左边不等式：x - x^2/2 < ln(1+x)
考虑函数 $g(x) = \ln(1+x) - \left(x - \frac{x^2}{2}\right)$，定义域为 $x > -1$。求导得 $g'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x$。化简：$g'(x) = \frac{1}{1+x} - (1 - x) = \frac{1 - (1 - x)(1+x)}{1+x} = \frac{1 - (1 - x^2)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$。当 $x > 0$ 时，$g'(x) > 0$，故 $g(x)$ 严格递增。又 $g(0) = \ln 1 - 0 = 0$，因此当 $x > 0$ 时，$g(x) > 0$，即 $\ln(1+x) > x - \frac{x^2}{2}$。
公式：$g'(x) = \frac{x^2}{1+x}$
提示：化简 $g'(x)$ 时注意通分，避免符号错误。
步骤 3/3
目标：总结不等式
综合以上两步，对于任意 $x > 0$，有 $x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x$。
公式：$x - \frac{x^2}{2} < \ln(1+x) < x, \quad x > 0$
提示：注意不等式方向，左边是下界，右边是上界。
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