电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e\right]=$ $\_\_\_\_$ ．
2 ．已知 $\displaystyle z=x \ln \frac{x}{y}$ ，求 $\left.\mathrm{d}^{2} z\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将极限表达式转化为指数形式
设 $x = \frac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时 $x \to 0$。原极限化为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}\left[(1+x)^{1/x} - e\right]
$$
其中 $(1+x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x} \ln(1+x)}$。
公式：$(1+x)^{1/x} = e^{\frac{1}{x} \ln(1+x)}$
提示：注意变量替换后极限方向的变化，$n \to \infty$ 对应 $x \to 0^+$。
步骤 2/6
目标：展开对数函数并化简指数部分
将 $\ln(1+x)$ 在 $x=0$ 处展开：
$$
\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
$$
则
$$
\frac{1}{x} \ln(1+x) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2)
$$
因此
$$
(1+x)^{1/x} = e^{1 - \frac{x}{2} + O(x^2)} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + O(x^2)}
$$
公式：$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + O(x^3)$
提示：展开到 $x$ 的一次项即可，因为后面要乘以 $\frac{1}{x}$。
步骤 3/6
目标：进一步展开指数函数并代入原极限
将 $e^{-\frac{x}{2} + O(x^2)}$ 展开：
$$
e^{-\frac{x}{2} + O(x^2)} = 1 - \frac{x}{2} + O(x^2)
$$
于是
$$
(1+x)^{1/x} = e\left(1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\right)
$$
代入极限表达式：
$$
\frac{1}{x}\left[e\left(1 - \frac{x}{2} + O(x^2)\right) - e\right] = \frac{1}{x}\left[-\frac{e x}{2} + O(x^2)\right] = -\frac{e}{2} + O(x)
$$
当 $x \to 0$ 时，极限为 $-\frac{e}{2}$。
公式：$e^u = 1 + u + O(u^2)$
提示：注意 $O(x^2)/x = O(x)$ 在 $x \to 0$ 时趋于 0。
步骤 4/6
目标：化简第二题的函数形式并求一阶偏导
函数 $z = x \ln\frac{x}{y} = x(\ln x - \ln y) = x\ln x - x\ln y$。
对 $x$ 求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial x} = \ln x + 1 - \ln y
$$
对 $y$ 求偏导：
$$
\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{x}{y}
$$
公式：$\frac{\partial}{\partial x}(x\ln x) = \ln x + 1$，$\frac{\partial}{\partial y}(-x\ln y) = -\frac{x}{y}$
提示：注意 $\ln\frac{x}{y}$ 要拆开处理，避免复合函数求导出错。
步骤 5/6
目标：求二阶偏导并代入点 (1,1)
二阶偏导：
$$
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{1}{x}, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{x}{y^2}, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -\frac{1}{y}
$$
在点 $(1,1)$ 处：
$$
\left.\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}\right|_{(1,1)} = 1, \quad \left.\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right|_{(1,1)} = 1, \quad \left.\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}\right|_{(1,1)} = -1
$$
公式：$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\ln x + 1 - \ln y\right) = -\frac{1}{y}$
提示：混合偏导与次序无关，可先对 $x$ 再对 $y$ 或反之，结果相同。
步骤 6/6
目标：写出二阶全微分表达式并代入数值
二阶全微分公式：
$$
\mathrm{d}^2 z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \mathrm{d}x^2 + 2\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} \mathrm{d}y^2
$$
代入 $(1,1)$ 处的值：
$$
\left.\mathrm{d}^2 z\right|_{(1,1)} = 1 \cdot \mathrm{d}x^2 + 2(-1) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + 1 \cdot \mathrm{d}y^2 = \mathrm{d}x^2 - 2\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y + \mathrm{d}y^2
$$
公式：$\mathrm{d}^2 z = z_{xx}\mathrm{d}x^2 + 2z_{xy}\mathrm{d}x\mathrm{d}y + z_{yy}\mathrm{d}y^2$
提示：注意混合偏导项系数为 2，不要遗漏。
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