电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．计算 $\oint_{L}(x y+y z+z x) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $x+y+z=0$ 的交线．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确曲线与对称性
曲线 $L$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线。由于平面过球心，截得的是半径为 $a$ 的大圆。曲线具有轮换对称性，即交换 $x,y,z$ 的位置，曲线方程不变。
公式：x^2+y^2+z^2=a^2,\quad x+y+z=0
提示：注意平面过球心，因此交线是半径为 $a$ 的圆，而不是椭圆。
步骤 2/5
目标：利用对称性简化被积函数
考虑三个积分 $\oint_L xy\,ds$、$\oint_L yz\,ds$、$\oint_L zx\,ds$。由轮换对称性，它们相等，记公共值为 $I$。则原积分 $\oint_L (xy+yz+zx)\,ds = 3I$。
公式：I = \oint_L xy\,ds = \oint_L yz\,ds = \oint_L zx\,ds
提示：轮换对称性成立的条件是曲线在坐标轮换下不变，这里球面和平面方程均满足。
步骤 3/5
目标：利用恒等式求被积函数值
在曲线上，由 $x+y+z=0$ 得 $(x+y+z)^2=0$，展开得 $x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=0$。又 $x^2+y^2+z^2=a^2$，代入得 $a^2+2(xy+yz+zx)=0$，解得 $xy+yz+zx = -\dfrac{a^2}{2}$。因此被积函数在整条曲线上为常数 $-\dfrac{a^2}{2}$。
公式：xy+yz+zx = -\frac{a^2}{2}
提示：注意这个关系在曲线上的每一点都成立，因此可以直接提出积分号。
步骤 4/5
目标：计算曲线长度并积分
曲线 $L$ 是半径为 $a$ 的圆，周长为 $2\pi a$。于是原积分等于常数乘以周长：$\oint_L (xy+yz+zx)\,ds = \left(-\dfrac{a^2}{2}\right) \cdot 2\pi a = -\pi a^3$。
公式：\oint_L (xy+yz+zx)\,ds = -\frac{a^2}{2} \cdot 2\pi a = -\pi a^3
提示：不要忘记曲线是空间圆，半径就是球的半径 $a$。
步骤 5/5
目标：得出最终答案
因此，所求积分的值为 $-\pi a^3$。
公式：\boxed{-\pi a^3}
提示：最终答案需用方框框出，注意负号。
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