电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{2} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定通项结构
记调和数 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$，则幂级数通项为 $a_n = (H_n)^2$，原级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$。
公式：$a_n = (H_n)^2$
提示：注意 $H_n$ 是调和数，其渐近行为是 $H_n \sim \ln n$。
步骤 2/5
目标：利用根值法求收敛半径
由 $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$（$\gamma$ 为欧拉常数），得 $a_n \sim (\ln n)^2$。计算 $\sqrt[n]{a_n} = \exp\left(\frac{1}{n}\ln a_n\right)$，而 $\ln a_n \sim 2\ln\ln n$，故 $\frac{1}{n}\ln a_n \to 0$，因此 $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1$，收敛半径 $R=1$。
公式：$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=1 \Rightarrow R=1$
提示：根值法适用于通项含指数或对数增长的情形；注意 $\ln\ln n$ 增长极慢，除以 $n$ 后极限为0。
步骤 3/5
目标：检查右端点 $x=1$
当 $x=1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (H_n)^2$。由于 $H_n \to \infty$，通项 $(H_n)^2 \to \infty$，不满足收敛的必要条件（通项趋于0），故级数发散。
公式：$\lim_{n\to\infty} (H_n)^2 = \infty \neq 0$
提示：收敛的必要条件是通项趋于0，此处明显不满足。
步骤 4/5
目标：检查左端点 $x=-1$
当 $x=-1$ 时，级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (H_n)^2 (-1)^n$。通项绝对值 $|a_n(-1)^n| = (H_n)^2 \to \infty$，不趋于0，因此级数发散。
公式：$\lim_{n\to\infty} (H_n)^2 = \infty \neq 0$
提示：即使有交错符号，通项绝对值不趋于0仍导致发散。
步骤 5/5
目标：综合得出收敛域
收敛半径为1，且两端点均发散，故收敛域为开区间 $(-1, 1)$。
公式：$(-1, 1)$
提示：注意不要误将端点包含进去。
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