电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5．已知 $f(x)=x(\pi-x), x \in[0, \pi]$ ，展开为余弦级数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定余弦级数展开形式
对于定义在 $[0, \pi]$ 上的函数 $f(x)$，要展开成余弦级数，需进行偶延拓，得到周期为 $2\pi$ 的偶函数。余弦级数的形式为：
$$
f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)
$$
其中系数公式为：
$$
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \, dx, \quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) \, dx
$$
公式：a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) dx, \quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi f(x) \cos(nx) dx
提示：注意余弦级数对应偶延拓，因此积分区间为 $[0, \pi]$，且系数公式中前面有因子 $\frac{2}{\pi}$。
步骤 2/7
目标：计算常数项 $a_0$
代入 $f(x) = x(\pi - x) = \pi x - x^2$：
$$
a_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi (\pi x - x^2) \, dx
= \frac{2}{\pi} \left( \int_0^\pi \pi x \, dx - \int_0^\pi x^2 \, dx \right)
$$
计算积分：
$$
\int_0^\pi \pi x \, dx = \pi \cdot \frac{\pi^2}{2} = \frac{\pi^3}{2}, \quad \int_0^\pi x^2 \, dx = \frac{\pi^3}{3}
$$
所以：
$$
\int_0^\pi (\pi x - x^2) \, dx = \frac{\pi^3}{2} - \frac{\pi^3}{3} = \frac{\pi^3}{6}
$$
于是：
$$
a_0 = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{6} = \frac{\pi^2}{3}
$$
公式：a_0 = \frac{\pi^2}{3}
提示：计算定积分时注意幂函数积分公式，避免符号错误。
步骤 3/7
目标：计算 $a_n$ 并分解为两个积分
对于 $n \ge 1$：
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi x(\pi - x) \cos(nx) \, dx
= \frac{2}{\pi} \left( \pi \int_0^\pi x \cos(nx) \, dx - \int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx \right)
$$
记 $I_1 = \int_0^\pi x \cos(nx) \, dx$，$I_2 = \int_0^\pi x^2 \cos(nx) \, dx$，则 $a_n = \frac{2}{\pi} (\pi I_1 - I_2)$。
公式：a_n = \frac{2}{\pi} (\pi I_1 - I_2)
提示：分部积分时注意符号，尤其是 $\sin(n\pi)=0$ 和 $\cos(n\pi)=(-1)^n$ 的运用。
步骤 4/7
目标：计算 $I_1$
使用分部积分，令 $u = x$，$dv = \cos(nx) dx$，则 $du = dx$，$v = \frac{\sin(nx)}{n}$：
$$
I_1 = \left[ x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi - \int_0^\pi \frac{\sin(nx)}{n} \, dx
$$
第一项在端点均为 $0$（因为 $\sin(n\pi)=0$，$\sin 0=0$）。第二项：
$$
-\frac{1}{n} \int_0^\pi \sin(nx) \, dx = -\frac{1}{n} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi
= \frac{1}{n^2} [\cos(nx)]_0^\pi = \frac{1}{n^2} (\cos(n\pi) - 1)
$$
由于 $\cos(n\pi) = (-1)^n$，所以：
$$
I_1 = \frac{(-1)^n - 1}{n^2}
$$
公式：I_1 = \frac{(-1)^n - 1}{n^2}
提示：注意 $\sin(n\pi)=0$ 简化了计算，$\cos(n\pi)$ 的奇偶性要牢记。
步骤 5/7
目标：计算 $I_2$
使用分部积分，令 $u = x^2$，$dv = \cos(nx) dx$，则 $du = 2x dx$，$v = \frac{\sin(nx)}{n}$：
$$
I_2 = \left[ x^2 \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi - \frac{2}{n} \int_0^\pi x \sin(nx) \, dx
$$
第一项在端点均为 $0$。再计算 $J = \int_0^\pi x \sin(nx) \, dx$，令 $u = x$，$dv = \sin(nx) dx$，则 $du = dx$，$v = -\frac{\cos(nx)}{n}$：
$$
J = \left[ -x \frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^\pi + \frac{1}{n} \int_0^\pi \cos(nx) \, dx
$$
第一项：$x=\pi$ 时得 $-\pi \frac{\cos(n\pi)}{n} = -\pi \frac{(-1)^n}{n}$，$x=0$ 时为 $0$。第二项：$\frac{1}{n} \cdot \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_0^\pi = 0$。所以 $J = -\frac{\pi (-1)^n}{n}$。
代回 $I_2$：
$$
I_2 = -\frac{2}{n} \cdot \left( -\frac{\pi (-1)^n}{n} \right) = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}
$$
公式：I_2 = \frac{2\pi (-1)^n}{n^2}
提示：两次分部积分要仔细，注意符号的传递，尤其是负号的处理。
步骤 6/7
目标：代入求 $a_n$ 并化简
将 $I_1$ 和 $I_2$ 代入 $a_n = \frac{2}{\pi} (\pi I_1 - I_2)$：
$$
a_n = \frac{2}{\pi} \left( \pi \cdot \frac{(-1)^n - 1}{n^2} - \frac{2\pi (-1)^n}{n^2} \right)
= \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n^2} \left( (-1)^n - 1 - 2(-1)^n \right)
= \frac{2}{n^2} \left( -(-1)^n - 1 \right)
= -\frac{2}{n^2} \left( (-1)^n + 1 \right)
$$
公式：a_n = -\frac{2}{n^2} \left( (-1)^n + 1 \right)
提示：提取公因子时注意系数，化简后要检查符号。
步骤 7/7
目标：分析奇偶性并写出级数
当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n = -1$，则 $(-1)^n + 1 = 0$，所以 $a_n = 0$。
当 $n$ 为偶数时，设 $n = 2k$（$k = 1, 2, 3, \dots$），则 $(-1)^{2k} = 1$，$(-1)^n + 1 = 2$，所以：
$$
a_{2k} = -\frac{2}{(2k)^2} \cdot 2 = -\frac{4}{4k^2} = -\frac{1}{k^2}
$$
常数项：$\frac{a_0}{2} = \frac{\pi^2}{6}$。
因此余弦级数为：
$$
f(x) = \frac{\pi^2}{6} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( -\frac{1}{k^2} \right) \cos(2k x)
= \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k x)}{k^2}
$$
公式：f(x) = \frac{\pi^2}{6} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos(2k x)}{k^2}
提示：注意只有偶数项非零，不要遗漏常数项 $\frac{a_0}{2}$，且 $k$ 从 $1$ 开始。
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