电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6．已知 $b>a>0$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入含参函数，将原积分转化为参数函数在特定点的值
定义函数 \( F(t) = \int_{0}^{1} \frac{x^{t} - x^{a}}{\ln x} \, dx \)，其中 \( t > 0 \)。则原积分 \( \int_{0}^{1} \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \, dx = F(b) \)，且显然有 \( F(a) = 0 \)。
公式：F(t) = \int_{0}^{1} \frac{x^{t} - x^{a}}{\ln x} \, dx, \quad F(a)=0
提示：注意参数 \( a \) 是固定的正数，引入新参数 \( t \) 是为了利用对参数的求导技巧。
步骤 2/5
目标：对参数函数求导，简化被积函数
在积分号下对 \( t \) 求导（由一致收敛性保证可交换次序）：
\[ F'(t) = \int_{0}^{1} \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{x^{t} - x^{a}}{\ln x} \right) dx \]
由于 \( \frac{\partial}{\partial t} x^{t} = x^{t} \ln x \)，所以
\[ \frac{\partial}{\partial t} \frac{x^{t} - x^{a}}{\ln x} = \frac{x^{t} \ln x}{\ln x} = x^{t} \]
因此
\[ F'(t) = \int_{0}^{1} x^{t} \, dx \]
公式：F'(t) = \int_{0}^{1} x^{t} \, dx
提示：求导时注意 \( \ln x \) 在分母中，恰好与 \( x^{t} \) 的导数中的 \( \ln x \) 抵消，这是该技巧的关键。
步骤 3/5
目标：计算简单定积分，得到导数的表达式
计算 \( \int_{0}^{1} x^{t} \, dx \)：
\[ \int_{0}^{1} x^{t} \, dx = \left[ \frac{x^{t+1}}{t+1} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{t+1} \]
所以
\[ F'(t) = \frac{1}{t+1} \]
公式：F'(t) = \frac{1}{t+1}
提示：注意 \( t > -1 \) 时积分收敛，题目中 \( b > a > 0 \) 满足条件。
步骤 4/5
目标：对导数积分，利用初始条件还原原函数
由 \( F(a) = 0 \)，对 \( F'(t) \) 从 \( a \) 到 \( b \) 积分：
\[ F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} \frac{1}{t+1} \, dt = \ln(b+1) - \ln(a+1) \]
因此
\[ F(b) = \ln\frac{b+1}{a+1} \]
公式：F(b) = \ln\frac{b+1}{a+1}
提示：积分时注意 \( t+1 > 0 \)，可直接使用对数积分公式。
步骤 5/5
目标：写出原积分的结果
原积分即为 \( F(b) \)，故
\[ \int_{0}^{1} \frac{x^{b} - x^{a}}{\ln x} \, dx = \ln\frac{b+1}{a+1} \]
公式：\boxed{\ln\frac{b+1}{a+1}}
提示：最终结果简洁，与常见含参积分公式一致，注意分母是 \( a+1 \) 而非 \( a \)。
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