电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
13．证明函数 $f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：回忆一致连续的定义
函数 $f$ 在区间 $I$ 上一致连续，是指：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in I$，只要 $|x_1 - x_2| < \delta$，就有 $|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0, \forall x_1,x_2\in I, |x_1-x_2|<\delta \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：注意一致连续与连续的区别：一致连续要求 $\delta$ 只依赖于 $\varepsilon$，不依赖于点的位置。
步骤 2/7
目标：计算导数并分析其性质
计算 $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ 的导数：
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \ln x + \sqrt{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}. \]
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{\ln x}{\sqrt{x}} \to 0$，所以导数趋于 0，并非在整个区间上有界，因此不能直接利用导数有界推出 Lipschitz 连续。
公式：f'(x) = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}
提示：导数无界时，不能直接使用导数有界推出一致连续，需要分段处理。
步骤 3/7
目标：将区间分成有限部分和无穷远部分
将区间 $[1, +\infty)$ 分为 $[1, A]$ 和 $[A, +\infty)$，其中 $A$ 选取足够大，使得在 $[A, +\infty)$ 上 $|f'(x)|$ 很小，从而函数变化缓慢。
公式：[1,+\infty) = [1,A] \cup [A,+\infty)
提示：分段处理是处理无穷区间一致连续的常用技巧。
步骤 4/7
目标：处理无穷区间部分 $[A, +\infty)$
取 $A = 100$，则当 $x \ge A$ 时，$\ln x \ge \ln 100 \approx 4.605$，于是
\[ |f'(x)| = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \le \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}} \le \frac{2\ln x}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x}{\sqrt{x}}. \]
由于 $\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$ 在 $x \ge e^2$ 时单调递减，且 $\frac{\ln 100}{\sqrt{100}} = \frac{4.605}{10} = 0.4605$，故 $|f'(x)| \le 0.4605 < 1$。由拉格朗日中值定理，对任意 $x_1, x_2 \in [A, +\infty)$，存在 $\xi$ 介于 $x_1, x_2$ 之间，使得
\[ |f(x_1)-f(x_2)| = |f'(\xi)|\,|x_1-x_2| \le |x_1-x_2|. \]
因此，取 $\delta_2 = \varepsilon$，则当 $|x_1-x_2| < \delta_2$ 时，$|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：|f(x_1)-f(x_2)| \le |x_1-x_2| \quad (x_1,x_2 \ge A)
提示：注意验证 $A$ 的选取使得导数绝对值小于 1，实际可取 $A=e^2$ 或更大。
步骤 5/7
目标：处理有限区间部分 $[1, A]$
在闭区间 $[1, A]$ 上，函数 $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ 连续（初等函数在其定义域内连续），由 Cantor 定理（闭区间上的连续函数一致连续），对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta_1 > 0$，使得对任意 $x_1, x_2 \in [1, A]$，只要 $|x_1-x_2| < \delta_1$，就有 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$。
公式：\forall \varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \forall x_1,x_2\in[1,A], |x_1-x_2|<\delta_1 \Rightarrow |f(x_1)-f(x_2)|<\varepsilon
提示：Cantor 定理只适用于闭区间，不能直接用于无穷区间。
步骤 6/7
目标：综合两部分，证明整体一致连续
取 $\delta = \min\{\delta_1, \varepsilon\}$。对任意 $x_1, x_2 \in [1, +\infty)$，若 $|x_1-x_2| < \delta$，分三种情况：
- 若 $x_1, x_2 \in [1, A]$，由 $\delta \le \delta_1$ 得 $|f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon$；
- 若 $x_1, x_2 \in [A, +\infty)$，由 $\delta \le \varepsilon$ 得 $|f(x_1)-f(x_2)| \le |x_1-x_2| < \varepsilon$；
- 若 $x_1 \in [1, A]$，$x_2 \in [A, +\infty)$，则 $|x_1-A| < \delta$ 且 $|A-x_2| < \delta$，于是
\[ |f(x_1)-f(x_2)| \le |f(x_1)-f(A)| + |f(A)-f(x_2)| < \varepsilon + \varepsilon = 2\varepsilon. \]
为使最终结果小于 $\varepsilon$，可在前两部分中要求差值小于 $\varepsilon/2$，然后取 $\delta = \min\{\delta_1', \varepsilon/2\}$，其中 $\delta_1'$ 对应 $\varepsilon/2$，则第三种情况也小于 $\varepsilon$。因此，对任意 $\varepsilon>0$，存在共同的 $\delta$，使得在整个区间上一致连续条件成立。
公式：\delta = \min\{\delta_1', \varepsilon/2\}
提示：处理跨段点时，利用三角不等式和中间点 $A$ 进行过渡，注意调整 $\varepsilon$ 的系数。
步骤 7/7
目标：得出结论
因此，函数 $f(x)=\sqrt{x}\ln x$ 在 $[1, +\infty)$ 上一致连续。
提示：证明完成，注意书写规范。
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