电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
15．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，但对任意的 $x$ 不绝对一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将级数拆分为两个部分
将原级数拆分为两个级数之和：
\[
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^2+n}{n^2} = x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^2+n}{n^2} = x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}
提示：注意拆分后每一项的系数和分母要正确，不要遗漏负号。
步骤 2/6
目标：证明第一部分在闭区间上一致收敛
设闭区间为 $[a,b]$，令 $M = \max\{|a|,|b|\}$，则对任意 $x \in [a,b]$ 有 $|x| \le M$，从而 $x^2 \le M^2$。于是
\[
\left| (-1)^n \frac{x^2}{n^2} \right| \le \frac{M^2}{n^2}
\]
而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{M^2}{n^2}$ 收敛，由 Weierstrass M-判别法知 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{x^2}{n^2}$ 在 $[a,b]$ 上一致收敛（实际上绝对一致收敛）。
公式：\left| (-1)^n \frac{x^2}{n^2} \right| \le \frac{M^2}{n^2}, \quad \sum \frac{M^2}{n^2} \text{ 收敛}
提示：Weierstrass M-判别法要求找到一个与 x 无关的收敛优级数，这里 M^2/n^2 就是优级数。
步骤 3/6
目标：证明第二部分一致收敛
第二部分 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 是 Leibniz 级数，收敛且与 x 无关，因此它在任何区间上一致收敛（常值函数级数的一致收敛性）。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \text{ 收敛且与 } x \text{ 无关}
提示：与 x 无关的收敛数项级数可视为一致收敛，因为其部分和与 x 无关。
步骤 4/6
目标：得出原级数在闭区间上一致收敛
两个一致收敛的级数之和仍然一致收敛，因此原级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{x^2+n}{n^2}$ 在任意闭区间 $[a,b]$ 上一致收敛。
公式：\text{一致收敛级数之和仍一致收敛}
提示：注意这里第一部分是绝对一致收敛，第二部分是条件收敛但一致收敛，和仍一致收敛。
步骤 5/6
目标：分析绝对值级数的收敛性
考虑绝对值级数：
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^n \frac{x^2+n}{n^2} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2+n}{n^2} = x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
\]
其中 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛，但 $\sum \frac{1}{n}$ 发散（调和级数）。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^2+n}{n^2} = x^2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}
提示：调和级数发散是常见结论，注意不要与 p-级数混淆。
步骤 6/6
目标：证明对任意 x 不绝对一致收敛
对任意固定的 $x$，绝对值级数包含发散的调和级数 $\sum \frac{1}{n}$，因此绝对值级数发散，即原级数不绝对收敛。既然连逐点绝对收敛都不成立，就更不可能绝对一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \text{ 发散} \Rightarrow \text{绝对值级数发散}
提示：绝对一致收敛要求绝对值级数一致收敛，但这里绝对值级数甚至不逐点收敛，故结论成立。
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