电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
7．已知数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}: a_{1}=0, a_{2 m}=\frac{a_{2 m-1}}{2}, a_{2 m+1}=\frac{1}{2}+a_{2 m}$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的上下极限．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：整理递推关系并写出前几项
已知 $a_1=0$，对 $m\ge 1$ 有 $a_{2m}=\frac{a_{2m-1}}{2}$，$a_{2m+1}=\frac12+a_{2m}$。计算前几项：
$a_1=0$，$a_2=0$，$a_3=\frac12$，$a_4=\frac14$，$a_5=\frac34$，$a_6=\frac38$，$a_7=\frac78$，$a_8=\frac{7}{16}$，$a_9=\frac{15}{16}$。
提示：注意递推关系分奇偶，先写出少量项有助于观察规律。
步骤 2/4
目标：归纳奇数项通项公式
观察奇数项：$a_1=0$，$a_3=\frac12$，$a_5=\frac34$，$a_7=\frac78$，$a_9=\frac{15}{16}$。猜想 $a_{2k+1}=1-\frac{1}{2^k}$。验证：$k=0$ 时 $a_1=1-1=0$；$k=1$ 时 $a_3=1-\frac12=\frac12$；$k=2$ 时 $a_5=1-\frac14=\frac34$，成立。
公式：a_{2k+1}=1-\frac{1}{2^k}
提示：归纳时注意 $k$ 从0开始，对应 $a_1$。
步骤 3/4
目标：推导偶数项通项公式
由 $a_{2m}=\frac{a_{2m-1}}{2}$，且 $2m-1=2(m-1)+1$，代入奇数项通项得 $a_{2m-1}=1-\frac{1}{2^{m-1}}$，所以 $a_{2m}=\frac{1-\frac{1}{2^{m-1}}}{2}=\frac12-\frac{1}{2^m}$。验证：$m=1$ 得 $a_2=\frac12-\frac12=0$；$m=2$ 得 $a_4=\frac12-\frac14=\frac14$，正确。
公式：a_{2m}=\frac12-\frac{1}{2^m}
提示：注意 $m\ge1$，偶数项通项中 $2^m$ 的指数与 $m$ 一致。
步骤 4/4
目标：分析子列极限并确定上下极限
奇数项子列：$\lim_{k\to\infty} a_{2k+1} = \lim_{k\to\infty}\left(1-\frac{1}{2^k}\right)=1$。偶数项子列：$\lim_{m\to\infty} a_{2m} = \lim_{m\to\infty}\left(\frac12-\frac{1}{2^m}\right)=\frac12$。由于数列的上下极限分别等于其所有子列极限的上确界和下确界，故上极限为 $1$，下极限为 $\frac12$。
公式：\limsup_{n\to\infty}a_n=1,\quad \liminf_{n\to\infty}a_n=\frac12
提示：上下极限不一定等于极限，这里两个子列分别收敛到不同值，需分别计算。
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