电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
8．求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\tan u^{2}} \mathrm{~d} u$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确f(x)的表达式并调整积分方向
已知 $f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\tan u^{2}} \, du$。由于当 $x \in [0, \pi/2]$ 时，$\sqrt{x} \le \sqrt{\pi/2}$，积分上限小于下限，因此改写为 $f(x) = -\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\pi/2}} \frac{1}{1+\tan(u^2)} \, du$。
公式：f(x) = -\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\pi/2}} \frac{1}{1+\tan(u^2)} \, du
提示：注意积分上下限的大小关系，当上限小于下限时，交换上下限并添加负号。
步骤 2/5
目标：将原积分化为二重积分并交换积分次序
原积分 $I = \int_{0}^{\pi/2} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \, dx = -\int_{0}^{\pi/2} \int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\pi/2}} \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{1+\tan(u^2)} \, du \, dx$。积分区域：$x$ 从 $0$ 到 $\pi/2$，对于每个 $x$，$u$ 从 $\sqrt{x}$ 到 $\sqrt{\pi/2}$。交换次序：$u$ 从 $0$ 到 $\sqrt{\pi/2}$，对于每个 $u$，$x$ 从 $0$ 到 $u^2$。于是 $I = -\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} \frac{1}{1+\tan(u^2)} \left( \int_{0}^{u^2} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \right) du$。
公式：I = -\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} \frac{1}{1+\tan(u^2)} \left( \int_{0}^{u^2} x^{-1/2} \, dx \right) du
提示：交换积分次序时，要准确描述积分区域：由 $u \ge \sqrt{x}$ 得 $x \le u^2$，且 $x \ge 0$。
步骤 3/5
目标：计算内层积分
内层积分 $\int_{0}^{u^2} x^{-1/2} \, dx = \left[ 2x^{1/2} \right]_{0}^{u^2} = 2u$。代入得 $I = -\int_{0}^{\sqrt{\pi/2}} \frac{2u}{1+\tan(u^2)} \, du$。
公式：\int_{0}^{u^2} x^{-1/2} \, dx = 2u
提示：注意 $\sqrt{x}$ 的原函数是 $2\sqrt{x}$，代入上下限时小心计算。
步骤 4/5
目标：换元简化积分
令 $t = u^2$，则 $dt = 2u \, du$，当 $u=0$ 时 $t=0$，$u=\sqrt{\pi/2}$ 时 $t=\pi/2$。于是 $I = -\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan t} \, dt$。
公式：I = -\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan t} \, dt
提示：换元时注意积分限的对应，以及 $2u \, du$ 恰好被消去。
步骤 5/5
目标：计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan t} \, dt$
令 $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan t} \, dt$。将 $\frac{1}{1+\tan t}$ 化为 $\frac{\cos t}{\cos t + \sin t}$。利用对称性，令 $u = \pi/2 - t$，则 $J = \int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin u}{\sin u + \cos u} \, du$。两式相加得 $2J = \int_{0}^{\pi/2} 1 \, dt = \frac{\pi}{2}$，所以 $J = \frac{\pi}{4}$。因此 $I = -\frac{\pi}{4}$。
公式：\int_{0}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan t} \, dt = \frac{\pi}{4}
提示：利用对称性时，注意被积函数在变换后的形式，相加后分子分母恰好抵消。
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