电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
9．计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{j}{j^{2}+k^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将双重求和转化为黎曼和的形式
设 $x = \frac{j}{n}$, $y = \frac{k}{n}$，则 $j = nx$, $k = ny$。代入求和项：
$$\frac{j}{j^2 + k^2} = \frac{nx}{n^2 x^2 + n^2 y^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{x}{x^2 + y^2}$$
原极限变为：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{x}{x^2 + y^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{x}{x^2 + y^2}$$
其中 $x = j/n$, $y = k/n$。
公式：$$\frac{j}{j^2+k^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{x}{x^2+y^2}$$
提示：注意外层因子 $1/n$ 与变换产生的 $1/n$ 合并为 $1/n^2$，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：将极限表示为二重积分
上述黎曼和在 $n \to \infty$ 时收敛于单位正方形 $[0,1] \times [0,1]$ 上的二重积分：
$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n \frac{j/n}{(j/n)^2 + (k/n)^2} = \iint_{[0,1]^2} \frac{x}{x^2 + y^2} \, dx \, dy$$
公式：$$\iint_{[0,1]^2} \frac{x}{x^2+y^2} \, dx \, dy$$
提示：确认积分区域是 $[0,1] \times [0,1]$，函数在 $(0,0)$ 处有奇点，但积分收敛。
步骤 3/6
目标：先对 $y$ 积分
固定 $x$，先对 $y$ 积分：
$$\int_0^1 \frac{x}{x^2 + y^2} \, dy = x \int_0^1 \frac{1}{x^2 + y^2} \, dy$$
利用公式 $\int \frac{1}{a^2 + y^2} \, dy = \frac{1}{a} \arctan\frac{y}{a}$，其中 $a = x$，得：
$$x \cdot \left[ \frac{1}{x} \arctan\frac{y}{x} \right]_{y=0}^{y=1} = \arctan\frac{1}{x} - \arctan 0 = \arctan\frac{1}{x}$$
公式：$$\int_0^1 \frac{x}{x^2+y^2} \, dy = \arctan\frac{1}{x}$$
提示：注意 $x > 0$，$\arctan(1/x)$ 在 $x \to 0^+$ 时趋于 $\pi/2$，积分仍有限。
步骤 4/6
目标：对 $x$ 积分并换元
原积分化为：
$$\int_0^1 \arctan\frac{1}{x} \, dx$$
令 $t = 1/x$，则 $x = 1/t$，$dx = -1/t^2 \, dt$，当 $x$ 从 $0$ 到 $1$ 时，$t$ 从 $+\infty$ 到 $1$，于是：
$$\int_0^1 \arctan\frac{1}{x} \, dx = \int_{\infty}^1 \arctan t \cdot \left(-\frac{1}{t^2}\right) \, dt = \int_1^{\infty} \frac{\arctan t}{t^2} \, dt$$
公式：$$\int_0^1 \arctan\frac{1}{x} \, dx = \int_1^{\infty} \frac{\arctan t}{t^2} \, dt$$
提示：换元时注意积分限的变化，$dx$ 的负号用于交换上下限。
步骤 5/6
目标：用分部积分计算积分
设 $u = \arctan t$，$dv = t^{-2} \, dt$，则 $du = \frac{1}{1+t^2} \, dt$，$v = -1/t$。分部积分得：
$$\int_1^{\infty} \frac{\arctan t}{t^2} \, dt = \left[ -\frac{\arctan t}{t} \right]_1^{\infty} + \int_1^{\infty} \frac{1}{t(1+t^2)} \, dt$$
计算边界项：当 $t \to \infty$，$\arctan t \to \pi/2$，$1/t \to 0$，乘积为 $0$；当 $t=1$，值为 $-\pi/4$，所以：
$$\left[ -\frac{\arctan t}{t} \right]_1^{\infty} = 0 - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{4}$$
公式：$$\int_1^{\infty} \frac{\arctan t}{t^2} \, dt = \frac{\pi}{4} + \int_1^{\infty} \frac{1}{t(1+t^2)} \, dt$$
提示：分部积分时注意符号，边界项代入下限时要减去。
步骤 6/6
目标：计算剩余积分并求和
用部分分式：
$$\frac{1}{t(1+t^2)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2}$$
积分得：
$$\int_1^{\infty} \left( \frac{1}{t} - \frac{t}{1+t^2} \right) \, dt = \left[ \ln t - \frac{1}{2} \ln(1+t^2) \right]_1^{\infty} = \left[ \ln \frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \right]_1^{\infty}$$
当 $t \to \infty$，$\frac{t}{\sqrt{1+t^2}} \to 1$，$\ln 1 = 0$；当 $t=1$，值为 $\ln \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2} \ln 2$，所以：
$$0 - \left(-\frac{1}{2} \ln 2\right) = \frac{1}{2} \ln 2$$
总和为：
$$\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} \ln 2$$
公式：$$\int_1^{\infty} \frac{1}{t(1+t^2)} \, dt = \frac{1}{2} \ln 2$$
提示：部分分式分解要准确，注意无穷限代入时极限为0。
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