电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
10．计算 $\displaystyle \int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-(x-1) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为椭圆 $x^{2}-4 x+4 y^{2}=0$ ，取逆时针方向．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简椭圆方程，确定曲线形状和位置
给定椭圆方程 $x^2 - 4x + 4y^2 = 0$，配方得 $(x-2)^2 + 4y^2 = 4$，两边除以4得 $\frac{(x-2)^2}{4} + y^2 = 1$。因此椭圆中心为 $(2,0)$，长半轴 $a=2$（沿x轴），短半轴 $b=1$（沿y轴）。
公式：$\frac{(x-2)^2}{4} + y^2 = 1$
提示：注意配方时不要遗漏常数项，椭圆中心在(2,0)而非原点。
步骤 2/5
目标：识别被积表达式的奇点
被积表达式为 $\frac{y\,dx - (x-1)\,dy}{(x-1)^2 + y^2}$，分母为零的点为 $(1,0)$，即奇点。判断该点是否在椭圆内部：椭圆中心 $(2,0)$ 到 $(1,0)$ 的距离为1，小于长半轴2，且点位于x轴上，故奇点在椭圆内部。
公式：奇点 $(1,0)$
提示：奇点位置是判断积分是否与路径无关的关键，此处奇点被曲线包围。
步骤 3/5
目标：通过平移变换简化积分形式
令 $u = x-1$，$v = y$，则 $dx = du$，$dy = dv$，被积表达式化为 $\frac{v\,du - u\,dv}{u^2+v^2}$。原椭圆经平移后中心变为 $(1,0)$，方程化为 $\frac{(u-1)^2}{4} + v^2 = 1$，仍包围原点 $(0,0)$。曲线方向保持逆时针。
公式：$\frac{v\,du - u\,dv}{u^2+v^2}$
提示：平移不改变曲线方向和包围关系，注意新变量下奇点移至原点。
步骤 4/5
目标：分析新积分的形式与经典结论
积分 $\int_{L'} \frac{v\,du - u\,dv}{u^2+v^2}$ 中，令 $P = \frac{v}{u^2+v^2}$，$Q = -\frac{u}{u^2+v^2}$。计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial v} = \frac{u^2 - v^2}{(u^2+v^2)^2}$，$\frac{\partial Q}{\partial u} = \frac{u^2 - v^2}{(u^2+v^2)^2}$，二者相等，故在除去原点的区域该形式是恰当的，对应角度函数 $\theta = \arctan(v/u)$ 的全微分。但绕原点一周时角度增加 $2\pi$，因此积分值为 $2\pi$。
公式：$\frac{\partial P}{\partial v} = \frac{\partial Q}{\partial u} = \frac{u^2 - v^2}{(u^2+v^2)^2}$
提示：注意原点处不满足恰当条件，绕奇点积分非零，结果为 $2\pi$。
步骤 5/5
目标：得出原积分结果
由于平移变换保持积分值不变，且 $L'$ 逆时针包围原点，故原积分等于 $2\pi$。
公式：$\displaystyle \int_{L} \frac{y\,dx-(x-1)\,dy}{(x-1)^2+y^2} = 2\pi$
提示：最终结果与椭圆具体形状无关，只取决于是否包围奇点及方向。
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