电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
11．求第二类曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $S$ 为圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1(-1 \leq z \leq 1)$ ，方向为外侧。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解积分形式与投影法
积分表达式为 $\iint_{S} \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$，其中 $\mathrm{d}y\mathrm{d}z$ 表示将曲面投影到 $yz$ 平面。对于第二类曲面积分，当曲面表示为 $x = g(y,z)$ 时，有公式：
$$\iint_S P(x,y,z) \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iint_{D_{yz}} P(g(y,z), y, z) \cdot (\text{符号因子}) \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
符号由曲面法向与 $x$ 轴正向的夹角决定：锐角取正，钝角取负。
公式：$$\iint_S P \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iint_{D_{yz}} P \cdot (\pm 1) \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z$$
提示：注意区分曲面的侧，外侧方向在圆柱左右两侧不同。
步骤 2/7
目标：将圆柱面分成前后两部分
圆柱面方程为 $x^2 + y^2 = 1$，可解出 $x = \pm \sqrt{1 - y^2}$。
- 前半部分 $S_1$：$x = \sqrt{1 - y^2}$，外侧法向指向 $x$ 正方向，符号取正。
- 后半部分 $S_2$：$x = -\sqrt{1 - y^2}$，外侧法向指向 $x$ 负方向，符号取负。
投影区域 $D$ 为 $yz$ 平面上的矩形：$-1 \le y \le 1,\ -1 \le z \le 1$。
公式：$$x = \pm \sqrt{1 - y^2}$$
提示：投影时 $y$ 和 $z$ 独立变化，注意 $x$ 的正负对应不同的侧。
步骤 3/7
目标：计算前半部分 $S_1$ 的积分
在 $S_1$ 上，$x = \sqrt{1 - y^2}$，代入被积函数：
$$\frac{x}{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{\sqrt{1 - y^2}}{(\sqrt{1 - y^2})^2 + y^2 + z^2} = \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2}$$
符号取正，因此：
$$\iint_{S_1} = \iint_D \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2} \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z$$
公式：$$\iint_{S_1} = \iint_D \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2} \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z$$
提示：分母化简时利用了 $x^2 + y^2 = 1$。
步骤 4/7
目标：计算后半部分 $S_2$ 的积分
在 $S_2$ 上，$x = -\sqrt{1 - y^2}$，代入被积函数：
$$\frac{x}{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{-\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2}$$
由于外侧法向与 $x$ 轴正向相反，符号取负，因此：
$$\iint_{S_2} = \iint_D \left( \frac{-\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2} \right) \cdot (-1) \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z = \iint_D \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2} \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z$$
与 $S_1$ 结果相同。
公式：$$\iint_{S_2} = \iint_D \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2} \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z$$
提示：注意符号因子的作用：被积函数本身有负号，再乘以外侧对应的负号，负负得正。
步骤 5/7
目标：合并两部分并分离变量
两部分积分相等，总积分为：
$$\iint_S = 2 \iint_D \frac{\sqrt{1 - y^2}}{1 + z^2} \, \mathrm{d}y \mathrm{d}z$$
积分区域 $D$ 是矩形，可分离变量：
$$= 2 \left( \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2} \, \mathrm{d}y \right) \left( \int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + z^2} \, \mathrm{d}z \right)$$
公式：$$\iint_S = 2 \int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2} \, \mathrm{d}y \cdot \int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + z^2} \, \mathrm{d}z$$
提示：分离变量时注意积分限是常数，可以直接拆成乘积。
步骤 6/7
目标：计算两个定积分
第一个积分：$\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2} \, \mathrm{d}y$ 表示半径为1的半圆面积，值为 $\frac{\pi}{2}$。
第二个积分：$\int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + z^2} \, \mathrm{d}z = \left[ \arctan z \right]_{-1}^{1} = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$。
公式：$$\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - y^2} \, \mathrm{d}y = \frac{\pi}{2}, \quad \int_{-1}^{1} \frac{1}{1 + z^2} \, \mathrm{d}z = \frac{\pi}{2}$$
提示：半圆面积可直接用几何意义，避免复杂计算。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
将两个积分结果相乘并乘以2：
$$\iint_S = 2 \cdot \frac{\pi}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$$
公式：$$\iint_S = \frac{\pi^2}{2}$$
提示：最终答案是一个简洁的常数，注意检查计算过程。
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