电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
16．（x）表示 $x$ 的小数部分，已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n x)}{n^{2}}(x \in \mathbb{R})$ ．
（1）求 $f(x)$ 所有间断点．
（2）证明 $f(x)$ 在有界闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析函数定义与级数性质
已知函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n x)}{n^{2}}$，其中 $(t)=t-\lfloor t \rfloor$ 表示小数部分，周期为 $1$，在整数点处左极限为 $1$、右极限为 $0$，有跳跃间断。对任意 $x$，有 $0 \le (n x) < 1$，因此 $\left|\frac{(n x)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}$，而 $\sum \frac{1}{n^2}$ 收敛。
公式：\left|\frac{(n x)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}
提示：注意小数部分函数的值域为 $[0,1)$，这是放缩的关键。
步骤 2/8
目标：判断级数的一致收敛性
由 Weierstrass M-判别法，因为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛，且 $\left|\frac{(n x)}{n^2}\right| \le \frac{1}{n^2}$ 对所有 $x \in \mathbb{R}$ 成立，所以该函数项级数在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}
提示：一致收敛性保证了和函数的连续性可由每一项的连续性传递，但间断点需单独分析。
步骤 3/8
目标：找出每一项的间断点
第 $n$ 项 $\frac{(n x)}{n^2}$ 的间断点出现在 $n x$ 为整数时，即 $x = \frac{k}{n}$，$k \in \mathbb{Z}$。因此所有形如 $\frac{k}{n}$ 的有理数都是某些项的间断点。
公式：x = \frac{k}{n},\quad k \in \mathbb{Z},\ n \in \mathbb{N}^+
提示：注意 $n$ 取遍所有正整数，因此有理数集 $\mathbb{Q}$ 中的每个数都可表示为 $\frac{k}{n}$ 的形式。
步骤 4/8
目标：判断有理点是否为和函数的间断点
取有理点 $x_0 = \frac{p}{q}$（既约，$q>0$）。当 $n$ 是 $q$ 的倍数时，$n x_0$ 为整数，该项在 $x_0$ 处有跳跃 $\frac{1}{n^2}$。由于级数一致收敛，可逐项取左右极限，左右极限之差为 $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(m q)^2} = \frac{1}{q^2} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6 q^2} > 0$，故 $x_0$ 是跳跃间断点。
公式：\lim_{x \to x_0^+} f(x) - \lim_{x \to x_0^-} f(x) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{(m q)^2} = \frac{\pi^2}{6 q^2}
提示：只有 $n$ 为 $q$ 的倍数时才有跳跃，其他项连续，因此只需累加这些项的跳跃。
步骤 5/8
目标：判断无理点是否为间断点
对无理数 $x$，对任意正整数 $n$，$n x$ 都不是整数，因此每一项 $\frac{(n x)}{n^2}$ 在 $x$ 处连续。由于级数一致收敛，和函数 $f(x)$ 在无理点处连续。
提示：无理数点不是任何项的间断点，且一致收敛保持连续性。
步骤 6/8
目标：总结第一问答案
所有有理数都是 $f(x)$ 的跳跃间断点，所有无理数都是连续点，因此 $f(x)$ 的所有间断点集为 $\mathbb{Q}$（全体有理数）。
公式：\text{间断点集} = \mathbb{Q}
提示：注意有理数在实数中稠密，但间断点集可数。
步骤 7/8
目标：证明函数在闭区间上有界
由 $|f(x)| \le \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$，可知 $f(x)$ 在任意区间 $[a,b]$ 上有界。
公式：|f(x)| \le \frac{\pi^2}{6}
提示：有界性是黎曼可积的必要条件之一。
步骤 8/8
目标：应用Lebesgue准则证明黎曼可积
黎曼可积的充要条件（Lebesgue准则）：有界函数在闭区间上黎曼可积当且仅当其间断点集为零测集。这里间断点集为 $\mathbb{Q} \cap [a,b]$，是可数集，Lebesgue测度为 $0$。因此 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上黎曼可积。
公式：m(\mathbb{Q} \cap [a,b]) = 0
提示：可数集的测度为0，这是实变函数中的基本结论。
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