电子科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}>a_{n}>0$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．
（2）证明：$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析题目条件，明确数列单调性
题目给出 $a_{n+1} > a_n > 0$ 且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。由于正项递增数列若收敛，则通项必须趋于0，但递增正数列趋于0只能发生在所有项为0的平凡情形，这与 $a_{n+1}>a_n$ 矛盾。因此，原题意图应为 $0 < a_{n+1} < a_n$（严格递减正项数列）。以下按此修正条件证明。
公式：a_{n+1} < a_n, \quad a_n > 0, \quad \sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ 收敛}
提示：注意：正项递增且级数收敛不可能，除非所有项为0，故需修正为递减条件。
步骤 2/6
目标：证明（1）：利用柯西准则估计部分和
由级数收敛的柯西准则，对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有
\[
\sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \frac{\varepsilon}{2}.
\]
由于数列递减，$a_k \ge a_{2n}$ 对 $k \le 2n$ 成立，故
\[
n a_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \frac{\varepsilon}{2}.
\]
从而 $2n a_{2n} < \varepsilon$，即 $\lim_{n \to \infty} (2n)a_{2n} = 0$。
公式：\sum_{k=n+1}^{2n} a_k < \frac{\varepsilon}{2}, \quad n a_{2n} \le \sum_{k=n+1}^{2n} a_k
提示：柯西准则中取区间长度为 $n$ 是关键技巧，注意递减性用于放缩。
步骤 3/6
目标：证明（1）：推广到所有自然数下标
类似地，考虑区间 $[n+1, 2n+1]$ 可得 $n a_{2n+1} \to 0$。因此对任意 $m$，当 $m$ 为偶数或奇数时均有 $m a_m \to 0$，故 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 0$。
公式：\lim_{n \to \infty} n a_n = 0
提示：需分别处理奇偶下标，但本质相同。
步骤 4/6
目标：证明（2）：写出部分和并变形
设 $S_N = \sum_{n=1}^{N} n(a_n - a_{n+1})$。展开得
\[
S_N = \sum_{n=1}^{N} n a_n - \sum_{n=1}^{N} n a_{n+1}.
\]
对第二项作指标变换 $k = n+1$，则
\[
\sum_{n=1}^{N} n a_{n+1} = \sum_{k=2}^{N+1} (k-1) a_k.
\]
代入得
\[
S_N = 1 \cdot a_1 + \sum_{n=2}^{N} n a_n - \sum_{k=2}^{N} (k-1) a_k - N a_{N+1}.
\]
公式：S_N = \sum_{n=1}^{N} n a_n - \sum_{k=2}^{N+1} (k-1) a_k
提示：注意指标变换时上下限的变化，不要遗漏 $N a_{N+1}$ 项。
步骤 5/6
目标：证明（2）：合并同类项化简
合并中间两个求和（$n$ 从2到 $N$）：
\[
\sum_{n=2}^{N} [n - (n-1)] a_n = \sum_{n=2}^{N} a_n.
\]
于是
\[
S_N = a_1 + \sum_{n=2}^{N} a_n - N a_{N+1} = \sum_{n=1}^{N} a_n - N a_{N+1}.
\]
公式：S_N = \sum_{n=1}^{N} a_n - N a_{N+1}
提示：化简后形式简洁，注意 $a_1$ 已包含在第一个求和中。
步骤 6/6
目标：证明（2）：取极限得收敛性
由（1）知 $\lim_{N \to \infty} N a_{N+1} = 0$，又 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛于某有限值 $S$，故
\[
\lim_{N \to \infty} S_N = S - 0 = S.
\]
因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n(a_n - a_{n+1})$ 收敛。
公式：\lim_{N \to \infty} S_N = \sum_{n=1}^{\infty} a_n
提示：利用（1）的结论是关键，注意 $N a_{N+1}$ 与 $n a_n$ 极限相同。
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