电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-\sqrt[2 n]{a})=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将根号形式转化为指数形式
将 $\sqrt[n]{a}$ 和 $\sqrt[2n]{a}$ 分别写为 $a^{1/n}$ 和 $a^{1/(2n)}$，原极限变为：
$$\lim_{n \to \infty} n \left( a^{1/n} - a^{1/(2n)} \right).$$
公式：$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$
提示：注意 $a > 0$，否则指数形式可能无定义。
步骤 2/5
目标：变量代换简化极限
令 $x = \frac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时，$x \to 0^+$，且 $n = \frac{1}{x}$，$a^{1/n} = a^x$，$a^{1/(2n)} = a^{x/2}$。原极限化为：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{a^x - a^{x/2}}{x}.$$
公式：$x = \frac{1}{n}$
提示：注意 $x \to 0^+$ 是右极限，但此处不影响结果。
步骤 3/5
目标：提取公因式
将分子 $a^x - a^{x/2}$ 提取公因式 $a^{x/2}$：
$$a^x - a^{x/2} = a^{x/2}(a^{x/2} - 1).$$
于是极限变为：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{a^{x/2}(a^{x/2} - 1)}{x}.$$
公式：$a^x - a^{x/2} = a^{x/2}(a^{x/2} - 1)$
提示：提取公因式后，$a^{x/2}$ 在 $x \to 0$ 时趋于 $1$，便于后续使用等价无穷小。
步骤 4/5
目标：利用等价无穷小替换
当 $t \to 0$ 时，有 $a^t - 1 \sim t \ln a$。令 $t = x/2$，则 $t \to 0$，于是 $a^{x/2} - 1 \sim \frac{x}{2} \ln a$。同时 $a^{x/2} \to 1$。代入极限：
$$\frac{a^{x/2}(a^{x/2} - 1)}{x} \sim \frac{1 \cdot \frac{x}{2} \ln a}{x} = \frac{\ln a}{2}.$$
公式：$a^t - 1 \sim t \ln a \quad (t \to 0)$
提示：等价无穷小替换时，必须确保 $t \to 0$，且注意 $a^{x/2} \to 1$ 的极限为常数。
步骤 5/5
目标：得出最终极限值
由上述推导，原极限的值为：
$$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{a} - \sqrt[2n]{a}) = \frac{\ln a}{2}.$$
公式：$\frac{\ln a}{2}$
提示：结果与 $a$ 有关，当 $a=1$ 时极限为 $0$，符合预期。
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