电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x} \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2 t}{t^{2}} d t=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：变量替换，将极限转化为更易处理的形式
令 $u = -x$，则当 $x \to -\infty$ 时，$u \to +\infty$。此时 $\frac{1}{x} = -\frac{1}{u}$，积分下限 $\frac{1}{x} = -\frac{1}{u}$。原极限化为：
$$
\lim_{u \to +\infty} \left( -\frac{1}{u} \right) \int_{-\frac{1}{u}}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} \, dt
$$
公式：\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = \lim_{u \to +\infty} \left( -\frac{1}{u} \right) \int_{-\frac{1}{u}}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt
提示：注意 $\frac{1}{x}$ 是负数，替换后积分下限为负，上限为正，积分区间包含瑕点 $t=0$。
步骤 2/5
目标：引入新变量简化表达式
令 $a = \frac{1}{x}$，则当 $x \to -\infty$ 时，$a \to 0^-$。原极限变为：
$$
\lim_{a \to 0^-} a \int_{a}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} \, dt
$$
这里 $a$ 是负的小量，积分下限为负，上限为正。
公式：\lim_{a \to 0^-} a \int_{a}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt
提示：此形式为 $0 \cdot \infty$ 型未定式，需分析被积函数在 $t=0$ 附近的渐近行为。
步骤 3/5
目标：将被积函数在 $t=0$ 附近展开
由于 $\cos 2t = 1 - 2t^2 + O(t^4)$，当 $t \to 0$ 时，有：
$$
\frac{\cos 2t}{t^2} = \frac{1}{t^2} - 2 + O(t^2)
$$
因此积分可拆分为主要部分和有限部分。
公式：\frac{\cos 2t}{t^2} = \frac{1}{t^2} - 2 + O(t^2)
提示：展开到常数项即可，高阶项不影响极限结果。
步骤 4/5
目标：计算积分的主要部分和有限部分
计算积分：
$$
\int_{a}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = \int_{a}^{1} \left( \frac{1}{t^2} - 2 + O(t^2) \right) dt
$$
分别积分：
$$
\int_{a}^{1} \frac{1}{t^2} dt = \left[ -\frac{1}{t} \right]_{a}^{1} = -1 - \left( -\frac{1}{a} \right) = \frac{1}{a} - 1
$$
$$
\int_{a}^{1} (-2) dt = -2(1 - a) = -2 + 2a
$$
忽略高阶项，得：
$$
\int_{a}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = \frac{1}{a} - 3 + 2a + O(a^3)
$$
公式：\int_{a}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = \frac{1}{a} - 3 + 2a + O(a^3)
提示：注意 $a$ 为负，但展开式在代数上仍然成立，$\frac{1}{a}$ 项主导发散。
步骤 5/5
目标：代入极限表达式并求值
将积分结果代入极限：
$$
a \int_{a}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = a \left( \frac{1}{a} - 3 + 2a + O(a^3) \right) = 1 - 3a + 2a^2 + O(a^4)
$$
当 $a \to 0^-$ 时，$1 - 3a + 2a^2 \to 1$，因此极限值为 $1$。
公式：\lim_{a \to 0^-} a \int_{a}^{1} \frac{\cos 2t}{t^2} dt = 1
提示：注意 $a$ 趋近于 $0$ 时，$a$ 的高次项均趋于 $0$，仅常数项 $1$ 保留。
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