电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3． $\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：换元简化
令 \( t = \sqrt{x} \)，则 \( x = t^2 \)，\( dx = 2t \, dt \)。
公式：t = \sqrt{x}, \quad dx = 2t \, dt
提示：注意换元后要正确替换微分，不要漏掉系数。
步骤 2/6
目标：代入原积分
原积分化为 \( \int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} \, dx = \int t \cdot e^{t} \cdot (2t \, dt) = 2 \int t^2 e^{t} \, dt \)。
公式：\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} \, dx = 2 \int t^2 e^{t} \, dt
提示：注意将根号和指数都换成 t，并乘以微分中的系数。
步骤 3/6
目标：第一次分部积分
对 \( \int t^2 e^{t} \, dt \) 使用分部积分，令 \( u = t^2 \), \( dv = e^{t} dt \)，则 \( du = 2t \, dt \), \( v = e^{t} \)，得到 \( \int t^2 e^{t} dt = t^2 e^{t} - \int 2t e^{t} dt \)。
公式：\int t^2 e^{t} dt = t^2 e^{t} - 2 \int t e^{t} dt
提示：分部积分时，选择 u 为多项式，dv 为指数函数。
步骤 4/6
目标：第二次分部积分
对 \( \int t e^{t} dt \) 再次分部积分，令 \( u = t \), \( dv = e^{t} dt \)，则 \( du = dt \), \( v = e^{t} \)，得到 \( \int t e^{t} dt = t e^{t} - \int e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + C \)。
公式：\int t e^{t} dt = t e^{t} - e^{t} + C
提示：第二次分部积分后，注意加上常数 C。
步骤 5/6
目标：合并结果并乘以系数
将第二次结果代入第一次：\( \int t^2 e^{t} dt = t^2 e^{t} - 2(t e^{t} - e^{t}) + C = t^2 e^{t} - 2t e^{t} + 2 e^{t} + C \)，再乘以系数 2：\( 2 \int t^2 e^{t} dt = 2t^2 e^{t} - 4t e^{t} + 4 e^{t} + C \)。
公式：2 \int t^2 e^{t} dt = 2t^2 e^{t} - 4t e^{t} + 4 e^{t} + C
提示：注意常数 C 在乘以系数后仍为任意常数，可合并。
步骤 6/6
目标：换回原变量并化简
将 \( t = \sqrt{x} \) 代回：\( 2x e^{\sqrt{x}} - 4\sqrt{x} e^{\sqrt{x}} + 4 e^{\sqrt{x}} + C \)，提取公因子 \( 2 e^{\sqrt{x}} \) 得 \( 2 e^{\sqrt{x}} (x - 2\sqrt{x} + 2) + C \)。
公式：\boxed{2 e^{\sqrt{x}} (x - 2\sqrt{x} + 2) + C}
提示：代回后注意化简，提取公因子使结果更简洁。
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