电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4、 $u=\ln (x+y)$ ，求 $\left.d u\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确全微分公式
对于二元函数 $u = u(x, y)$，其全微分为 $du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy$。
公式：du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy
提示：全微分是偏导数与自变量微分的线性组合，注意不要遗漏项。
步骤 2/5
目标：求函数对 x 的偏导数
将 $y$ 视为常数，对 $x$ 求导：$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+y} \cdot 1 = \frac{1}{x+y}$。
公式：\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{x+y}
提示：复合函数求导时，注意内层函数 $x+y$ 对 $x$ 的导数为1。
步骤 3/5
目标：求函数对 y 的偏导数
将 $x$ 视为常数，对 $y$ 求导：$\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x+y} \cdot 1 = \frac{1}{x+y}$。
公式：\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{x+y}
提示：由于函数对称，两个偏导数形式相同，但注意不要混淆自变量。
步骤 4/5
目标：代入指定点 (1,2) 计算偏导数值
在点 $(1,2)$ 处，$x+y = 1+2 = 3$，因此 $\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,2)} = \frac{1}{3}$，$\left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,2)} = \frac{1}{3}$。
公式：\left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{(1,2)} = \frac{1}{3},\quad \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{(1,2)} = \frac{1}{3}
提示：代入时注意分母不能为零，此处 $x+y=3$ 满足定义域。
步骤 5/5
目标：写出全微分在指定点的表达式
将偏导数值代入全微分公式：$\left. du \right|_{(1,2)} = \frac{1}{3} dx + \frac{1}{3} dy = \frac{1}{3}(dx + dy)$。
公式：\left. du \right|_{(1,2)} = \frac{1}{3}(dx + dy)
提示：最终结果中 $dx$ 和 $dy$ 是自变量微分，不要省略。
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