电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5、幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：回忆收敛半径的求法
对于幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n$，收敛半径 $R$ 可用比值法求得：$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$，若该极限存在。
公式：$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$
提示：注意比值法适用于通项含有阶乘或指数的情况，根值法也常用，但此处比值法更简便。
步骤 2/5
目标：写出通项并作比值
已知 $a_n = \frac{n!}{n^n}$，则 $a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$。计算比值：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!}
$$
公式：$a_n = \frac{n!}{n^n}$，$a_{n+1} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}$
提示：注意 $(n+1)! = (n+1) \cdot n!$，可简化后续计算。
步骤 3/5
目标：化简比值表达式
利用 $(n+1)! = (n+1)n!$，代入得：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)n!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = \frac{n+1}{(n+1)^{n+1}} \cdot n^n
$$
进一步，$(n+1)^{n+1} = (n+1)^n \cdot (n+1)$，约去分子中的 $n+1$，得：
$$
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n
$$
公式：$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^n$
提示：化简时注意指数运算的细节，避免约分错误。
步骤 4/5
目标：取极限求收敛半径
将 $\left( \frac{n}{n+1} \right)^n$ 改写为 $\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$。由重要极限 $\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$，得：
$$
\lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{e}
$$
因此 $\frac{1}{R} = \frac{1}{e}$，即 $R = e$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e$，$R = e$
提示：极限 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e$ 是常见结论，注意 $\left(\frac{n}{n+1}\right)^n$ 的变形技巧。
步骤 5/5
目标：得出结论
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n$ 的收敛半径为 $e$。
公式：$R = e$
提示：收敛半径只与系数有关，与 $x$ 无关，无需考虑端点收敛性。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。