电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
6． $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x-\cos 2 x}{x^{2}} d x=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析瑕点，验证积分收敛性
当 \(x \to 0\) 时，将 \(\cos x\) 和 \(\cos 2x\) 泰勒展开：
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots, \quad \cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^4}{24} - \cdots = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 - \cdots
\]
于是分子：
\[
\cos x - \cos 2x = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \cdots\right) - \left(1 - 2x^2 + \cdots\right) = \frac{3}{2}x^2 + O(x^4)
\]
被积函数在 \(x=0\) 附近：
\[
\frac{\cos x - \cos 2x}{x^2} \approx \frac{\frac{3}{2}x^2}{x^2} = \frac{3}{2}
\]
因此 \(x=0\) 不是瑕点，积分收敛。
公式：\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4), \quad \cos 2x = 1 - 2x^2 + O(x^4)
提示：注意展开到二阶即可判断极限存在，避免高阶项干扰。
步骤 2/4
目标：应用分部积分法化简积分
令 \(u = \cos x - \cos 2x\)，\(dv = \frac{dx}{x^2}\)，则 \(du = (-\sin x + 2\sin 2x)\,dx\)，\(v = -\frac{1}{x}\)。
分部积分公式：
\[
\int_0^\infty u\,dv = \left[ u v \right]_0^\infty - \int_0^\infty v\,du
\]
计算边界项：
- 当 \(x \to \infty\)，\(|\cos x - \cos 2x| \leq 2\)，\(\frac{1}{x} \to 0\)，乘积趋于0。
- 当 \(x \to 0\)，\(\cos x - \cos 2x \sim \frac{3}{2}x^2\)，乘以 \(-\frac{1}{x}\) 得 \(-\frac{3}{2}x \to 0\)。
因此边界项为0，积分化为：
\[
\int_0^\infty \frac{\cos x - \cos 2x}{x^2}\,dx = \int_0^\infty \frac{-\sin x + 2\sin 2x}{x}\,dx
\]
公式：\int u\,dv = uv - \int v\,du
提示：分部积分时注意边界项是否为零，这是广义积分的关键步骤。
步骤 3/4
目标：利用Dirichlet积分公式计算
已知Dirichlet积分：
\[
\int_0^\infty \frac{\sin(kx)}{x}\,dx = \frac{\pi}{2}, \quad k > 0
\]
分别计算：
\[
\int_0^\infty \frac{-\sin x}{x}\,dx = -\frac{\pi}{2}
\]
\[
\int_0^\infty \frac{2\sin 2x}{x}\,dx = 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi
\]
相加得：
\[
-\frac{\pi}{2} + \pi = \frac{\pi}{2}
\]
公式：\int_0^\infty \frac{\sin(kx)}{x}\,dx = \frac{\pi}{2} \quad (k>0)
提示：注意系数变换：\(\sin 2x\) 中的 \(2x\) 需通过变量代换 \(t=2x\) 验证积分值仍为 \(\pi/2\)。
步骤 4/4
目标：得出最终结果
综合以上步骤，原积分的值为：
\[
\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x - \cos 2x}{x^{2}}\,dx = \frac{\pi}{2}
\]
公式：\boxed{\frac{\pi}{2}}
提示：最终结果需以框形式呈现，注意检查积分收敛性。
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