电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
11、 $K$ 为实数域，$F \subset K$ 为非空闭集，令 $d(x)=\inf \{|x-t|: t \in F\}$ ，证明 $d(x)$ 为连续函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确要证明的结论
我们要证明函数 $d(x)=\inf\{|x-t|: t\in F\}$ 在任意一点 $x_0\in\mathbb{R}$ 处连续。即对于任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|d(x)-d(x_0)|<\varepsilon$。
提示：注意连续性的定义：对于每一点都要验证，且 $\delta$ 可以依赖于 $x_0$ 和 $\varepsilon$。
步骤 2/4
目标：推导 Lipschitz 不等式
对任意 $x,y\in\mathbb{R}$ 及任意 $t\in F$，由三角不等式得 $|x-t|\le |x-y|+|y-t|$。两边关于 $t\in F$ 取下确界，左边取下确界得 $d(x)$，右边取下确界得 $|x-y|+d(y)$，因此 $d(x)\le |x-y|+d(y)$，即 $d(x)-d(y)\le |x-y|$。同理交换 $x$ 与 $y$ 可得 $d(y)-d(x)\le |x-y|$，从而 $|d(x)-d(y)|\le |x-y|$。
公式：|d(x)-d(y)|\le |x-y|
提示：注意下确界的性质：$\inf(a+b)\ge \inf a+\inf b$ 一般不成立，但这里 $|x-y|$ 与 $t$ 无关，所以可以提出来。
步骤 3/4
目标：由 Lipschitz 条件推出连续性
由 $|d(x)-d(y)|\le |x-y|$ 可知 $d$ 是 Lipschitz 连续函数（Lipschitz 常数为 1）。对任意 $\varepsilon>0$，取 $\delta=\varepsilon$，则当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|d(x)-d(x_0)|\le |x-x_0|<\varepsilon$，故 $d$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$d$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
公式：|d(x)-d(x_0)|\le |x-x_0|<\varepsilon
提示：Lipschitz 连续比普通连续更强，它保证了一致连续性。这里取 $\delta=\varepsilon$ 即可，无需更复杂的构造。
步骤 4/4
目标：说明闭集条件的作用
在连续性证明中，我们只用到 $F$ 非空，并未用到 $F$ 是闭集。闭集条件通常用于保证 $d(x)$ 的下确界可达（即存在 $t\in F$ 使得 $d(x)=|x-t|$），或者用于后续其他性质（如紧性、完备性等），但本题仅需证明连续性，因此闭集条件并非必需。
提示：注意区分：虽然闭集条件在本题的连续性证明中未直接使用，但题目给出该条件可能为后续问题铺垫，或保证 $d(x)$ 的某些良好性质。
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