电子科技大学 2026年数学分析第0题

考虑绝对值级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{\cos nx}{\ln n}\right|$。由于 $|\cos nx| \le 1$，有 $\left|\frac{\cos nx}{\ln n}\right| \le \frac{1}{\ln n}$。但 $\frac{1}{\ln n}$ 的级数发散（因为 $\ln n$ 增长慢于任何 $n^\epsilon$，取 $\epsilon=1/2$，则 $\frac{1}{\ln n} > \frac{1}{n^{1/2}}$，而 $\sum \frac{1}{n^{1/2}}$ 发散），因此原级数不是绝对收敛的。

对于 $x \in [-\pi, \pi]$ 且 $x \neq 0, \pm\pi$，$\cos nx$ 的部分和 $S_N(x) = \sum_{n=2}^N \cos nx$ 有界（因为 $\sum_{n=1}^N \cos nx = \frac{\sin(Nx/2)\cos((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}$，分母 $\sin(x/2) \neq 0$）。系数 $a_n = 1/\ln n$ 单调递减趋于 0，由狄利克雷判别法，级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos nx}{\ln n}$ 收敛。结合第一步，此为条件收敛。

当 $x=0$ 时，$\cos nx = 1$，级数化为 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln n}$，发散。当 $x=\pi$ 时，$\cos n\pi = (-1)^n$，级数化为 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln n}$，这是交错级数，$1/\ln n$ 单调递减趋于 0，由莱布尼茨判别法知收敛，且绝对值级数发散，故条件收敛。$x=-\pi$ 时同理。

综合以上：当 $x=0$ 时级数发散；当 $x=\pm\pi$ 时条件收敛；当 $x \in [-\pi, \pi] \setminus \{0, \pm\pi\}$ 时条件收敛。

若存在 $[-\pi, \pi]$ 上的黎曼可积函数 $f(x)$，其傅里叶级数为 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos nx}{\ln n}$，则傅里叶系数 $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos nx \, dx = \frac{1}{\ln n}$（忽略常数因子）。对于黎曼可积函数，Parseval 等式成立：$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) < \infty$。这里 $b_n=0$，$a_n^2 = 1/(\ln n)^2$。考虑级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^2}$，用积分判别法：令 $x=e^t$，$\int_2^\infty \frac{dx}{(\ln x)^2} = \int_{\ln 2}^\infty \frac{e^t}{t^2} dt$，当 $t \to \infty$ 时 $e^t/t^2 \to \infty$，积分发散，故级数发散，与 Parseval 等式矛盾。因此不可能。