电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：变量替换，将积分转化为关于f(t)的形式
令 \( t = nx \)，则当 \( x \) 从 0 到 1 时，\( t \) 从 0 到 \( n \)，且 \( dx = \frac{dt}{n} \)。于是积分变为：
\[
\int_0^1 f(nx) \, dx = \int_0^n f(t) \cdot \frac{1}{n} \, dt = \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt.
\]
因此问题转化为求极限：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt.
\]
公式：\int_0^1 f(nx) \, dx = \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt
提示：注意变量替换时积分限的变化，以及dx与dt的转换关系。
步骤 2/4
目标：利用极限条件，引入ε-N语言
已知 \( \lim_{t \to +\infty} f(t) = A \)，则对任意给定的 \( \varepsilon > 0 \)，存在 \( X > 0 \)，使得当 \( t > X \) 时，有 \( |f(t) - A| < \varepsilon \)。
公式：\forall \varepsilon > 0, \exists X > 0, \forall t > X: |f(t) - A| < \varepsilon
提示：这里X依赖于ε，后续估计中需要固定X。
步骤 3/4
目标：拆分积分，分别估计两部分
取 \( n > X \)，将积分拆分为：
\[
\frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = \frac{1}{n} \int_0^X f(t) \, dt + \frac{1}{n} \int_X^n f(t) \, dt.
\]
第一部分：由于 \( f \) 在 \([0, X]\) 上连续，故有界，设 \( |f(t)| \le C \)，则
\[
\left| \frac{1}{n} \int_0^X f(t) \, dt \right| \le \frac{C X}{n} \to 0 \quad (n \to \infty).
\]
第二部分：对于 \( t \in [X, n] \)，有 \( |f(t) - A| < \varepsilon \)，因此
\[
\frac{1}{n} \int_X^n f(t) \, dt = \frac{1}{n} \int_X^n (f(t)-A) \, dt + \frac{A(n-X)}{n}.
\]
公式：\frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = \frac{1}{n} \int_0^X f(t) \, dt + \frac{1}{n} \int_X^n f(t) \, dt
提示：第一部分趋于0是因为分子有界而分母趋于无穷；第二部分需要进一步处理。
步骤 4/4
目标：估计第二部分并合并结果
对于第二部分中的积分差：
\[
\left| \frac{1}{n} \int_X^n (f(t)-A) \, dt \right| \le \frac{1}{n} \int_X^n \varepsilon \, dt = \varepsilon \cdot \frac{n-X}{n} < \varepsilon.
\]
而 \( \frac{A(n-X)}{n} = A \left(1 - \frac{X}{n}\right) \to A \) 当 \( n \to \infty \)。
因此，对于足够大的 \( n \)，有
\[
\left| \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt - A \right| \le \frac{CX}{n} + \varepsilon + \frac{|A|X}{n}.
\]
令 \( n \to \infty \)，则 \( \frac{CX}{n} \to 0 \)，\( \frac{|A|X}{n} \to 0 \)，故极限的上界可被 \( \varepsilon \) 控制，由 \( \varepsilon \) 的任意性得极限为 \( A \)。
公式：\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \int_0^n f(t) \, dt = A
提示：注意最后一步需要利用ε的任意性，这是极限定义的标准技巧。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。