电子科技大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
8、 $\displaystyle f(t)=\iint_{\substack{0 \leq x \leq s \\ 0 \leq y \leq s}} e^{-\frac{x}{y^{2}}} d x d y, t>0$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：重新理解题目，明确积分区域与变量关系
题目中 $f(t)$ 的积分区域和表达式未出现 $t$，推测 $s$ 应为 $t$，故将题目重新理解为：
$$f(t)=\iint\limits_{0\le x\le t,\ 0\le y\le t} e^{-\frac{x}{y^2}}\,dx\,dy,\quad t>0$$
公式：$$f(t)=\iint\limits_{0\le x\le t,\ 0\le y\le t} e^{-\frac{x}{y^2}}\,dx\,dy$$
提示：注意 $y=0$ 时被积函数需按极限理解，但通常不影响求导结果。
步骤 2/6
目标：将二重积分化为累次积分
积分区域为正方形 $[0,t]\times[0,t]$，因此：
$$f(t)=\int_{0}^{t}\int_{0}^{t} e^{-\frac{x}{y^2}}\,dx\,dy$$
公式：$$f(t)=\int_{0}^{t}\int_{0}^{t} e^{-\frac{x}{y^2}}\,dx\,dy$$
提示：注意积分次序，先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。
步骤 3/6
目标：先对 $x$ 积分，化简被积函数
对固定的 $y>0$，计算内层积分：
$$\int_{0}^{t} e^{-\frac{x}{y^2}}\,dx = \left[-y^2 e^{-\frac{x}{y^2}}\right]_{x=0}^{x=t} = y^2\left(1 - e^{-\frac{t}{y^2}}\right)$$
于是：
$$f(t) = \int_{0}^{t} y^2\left(1 - e^{-\frac{t}{y^2}}\right) dy$$
公式：$$\int_{0}^{t} e^{-\frac{x}{y^2}}\,dx = y^2\left(1 - e^{-\frac{t}{y^2}}\right)$$
提示：注意 $y$ 视为常数，积分变量为 $x$。
步骤 4/6
目标：应用莱布尼茨法则对 $t$ 求导
令 $g(t,y)=y^2\left(1 - e^{-t/y^2}\right)$，则 $f(t)=\int_{0}^{t} g(t,y)\,dy$。由莱布尼茨法则：
$$f'(t)=g(t,t) + \int_{0}^{t} \frac{\partial g}{\partial t}\,dy$$
计算 $g(t,t)=t^2\left(1 - e^{-1/t}\right)$。
再计算偏导：$\frac{\partial g}{\partial t}= y^2 \cdot \left( - e^{-t/y^2} \cdot \left(-\frac{1}{y^2}\right) \right) = e^{-t/y^2}$。
公式：$$f'(t)=t^2\left(1 - e^{-1/t}\right) + \int_{0}^{t} e^{-t/y^2}\,dy$$
提示：莱布尼茨法则中注意 $g(t,t)$ 项来自积分上限的贡献，偏导项来自被积函数对 $t$ 的导数。
步骤 5/6
目标：对积分项进行换元简化
令 $u = \frac{\sqrt{t}}{y}$，则 $y = \frac{\sqrt{t}}{u}$，$dy = -\frac{\sqrt{t}}{u^2} du$。当 $y:0^+\to t$ 时，$u: +\infty \to 1$，因此：
$$\int_{0}^{t} e^{-t/y^2} dy = \int_{\infty}^{1} e^{-u^2} \left(-\frac{\sqrt{t}}{u^2}\right) du = \sqrt{t} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-u^2}}{u^2}\,du$$
公式：$$\int_{0}^{t} e^{-t/y^2} dy = \sqrt{t} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-u^2}}{u^2}\,du$$
提示：换元时注意积分限的变化，$y\to 0^+$ 对应 $u\to +\infty$，$y=t$ 对应 $u=1$。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
将换元结果代入 $f'(t)$ 表达式，得到：
$$f'(t)= t^2\left(1 - e^{-1/t}\right) + \sqrt{t} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-u^2}}{u^2}\,du$$
公式：$$f'(t)= t^2\left(1 - e^{-1/t}\right) + \sqrt{t} \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-u^2}}{u^2}\,du$$
提示：最终结果中的积分是特殊函数形式，无法用初等函数表示，保留为积分形式即可。
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